積 → 和
\begin{eqnarray*}\sin A\cos B&=&\frac{1}{2}\{\sin (A+B)+\sin (A-B)\}\\\cos A\sin B&=&\frac{1}{2}\{\sin (A+B)-\sin (A-B)\}\\\cos A\cos B&=&\frac{1}{2}\{\cos (A+B)+\cos (A-B)\}\\\sin A\sin B&=&-\frac{1}{2}\{\cos (A+B)-\cos (A-B)\}\end{eqnarray*}
加法定理を用いて積を和に直す公式を導く :
\begin{eqnarray*}\sin (A+ B)&=&\sin A\cos B+ \cos A\sin B\ \ \ \cdots\ (1)\ \\\sin (A- B)&=&\sin A\cos B- \cos A\sin B\ \ \ \cdots\ (2)\ \\\cos (A + B)&=&\cos A\cos B- \sin A\sin B\ \ \ \cdots\ (3) \\\cos (A + B)&=&\cos A\cos B+ \sin A\sin B\ \ \ \cdots \ (4)\end{eqnarray*}
(1)+(2)より $$\sin(A+B)+\sin(A-B)=2\sin A\cos B$$を得る. 両辺を 2 で割れば $$\sin A\cos B=\frac{1}{2}{\sin (A+B)+\sin (A-B)}$$ が導かれる.
同様に
- {(1)-(2)}÷2 より $\cos A\sin B=\frac{1}{2}{\sin (A+B)-\sin (A-B)}$
- {(3)+(4)}÷2 より $\cos A\cos B=\frac{1}{2}{\cos (A+B)+\cos (A-B)}$
- {(3)-(4)}÷2 より $\sin A\sin B=-\frac{1}{2}{\cos (A+B)-\cos (A-B)}$
和 → 積
\begin{eqnarray*}\sin A+\sin B&=&2\sin \frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\\\sin A-\sin B&=&2\sin \frac{A-B}{2}\cos\frac{A+B}{2}\\\cos A+\cos B&=&2\cos \frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\\\cos A-\cos B&=&-2\sin \frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\end{eqnarray*}
上で得られた積を和に直す公式：
\begin{eqnarray*}\sin A\cos B&=&\frac{1}{2}\{\sin (A+B)+\sin (A-B)\}\\\cos A\sin B&=&\frac{1}{2}\{\sin (A+B)-\sin (A-B)\}\\\cos A\cos B&=&\frac{1}{2}\{\cos (A+B)+\cos (A-B)\}\\\sin A\sin B&=&-\frac{1}{2}\{\cos (A+B)-\cos (A-B)\}\end{eqnarray*}
において
$$A+B=A’, \ \ \ A-B=B’$$
とおくと
$$A=\frac{A’+B’}{2}, \ \ \ B=\frac{A’-B’}{2}$$
となるので, それぞれ代入すれば
\begin{eqnarray*}\sin \frac{A’+B’}{2}\cos \frac{A’-B’}{2}&=&\frac{1}{2}\left(\sin A’+\sin B’\right)\\\cos \frac{A’+B’}{2}\sin \frac{A’-B’}{2}&=&\frac{1}{2}\left(\sin A’-\sin B’\right)\\\cos \frac{A’+B’}{2}\cos \frac{A’-B’}{2}&=&\frac{1}{2}\left(\cos A’+\cos B’\right)\\\sin \frac{A’+B’}{2}\sin \frac{A’-B’}{2}&=&-\frac{1}{2}\left(\cos A’+\cos B’\right)\end{eqnarray*}
となり, 整理すれば公式が導かれる.