加法定理を用いて証明

三角関数の加法定理 ： $ \sin (\alpha + \beta)=\sin \alpha\cos \beta+ \cos \alpha\sin \beta$ において $\beta=\alpha$ とおけば

$ \sin 2\alpha=\sin (\alpha + \alpha)=\sin \alpha\cos \alpha+ \cos \alpha\sin \alpha=2\sin \alpha\cos \alpha$

他も同様.

ド・モアブルの定理を用いて証明

ド・モアブルの定理より

$$(\cos \theta+i\sin \theta)^{2}=\cos 2\theta+i\sin \theta$$

左辺を展開すると

$$\begin{eqnarray*}(\cos \theta+i\sin \theta)^{2}&=&\cos^{2}\theta +2i\sin\cos-\sin^{2}\theta\\&=&( \cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta ) + i ( 2\sin\cos )\end{eqnarray*}$$

このとき左辺と右辺の実部と虚部をそれぞれ比較すると

$$\cos 2\theta=\cos^{2} \theta-\sin^{2}\theta$$

$$\sin 2\theta=2\sin \theta\cos \theta$$