n を自然数とするとき, 方程式 $z^{n}=1$ の解は
$$\omega_{k}=\cos \left(\frac{2\pi}{n}\times k\right)+i\sin \left(\frac{2\pi}{n}\times k\right)\ (k=0,1,\cdots, n-1)$$
で与えられる.
n を自然数とする方程式 $z^{n}=1$ の解を, 1 の n 乗根という.
$z^{n}=1$ の解 $\omega_{0}, \omega_{1},\cdots, \omega_{n-1}$ を表す点は, 複素平面上において原点を中心とする半径 1 の円周上にあり, これらの点は正 $n$ 角形の頂点となる.
またド・モアブルの定理より, $\omega_{k}=(\omega_{1})^{k}$ である.
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例：１の３乗根
1の3乗根, すなわち, $z^{3}=1$ の解は
$$\begin{eqnarray*}\omega_{0}&=&\cos 0+i\sin 0=1\\\omega_{1}&=&\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\\\omega_{2}&=&\cos \frac{4\pi}{3}+i\sin \frac{4\pi}{3}=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\end{eqnarray*}$$
となる. このとき, $\omega_{0}, \omega_{1},\omega_{2}$ を表す点は、複素平面上の単位円に内接する正三角形の頂点となる.
証明
$z^{n}=1$ の解を求める.
$z=r(\cos \theta+i\sin \theta)\ (r>0, 0\leq \theta <2\pi)$ とおく.
$$\begin{eqnarray*}&&z^{n}=r^{n}(\cos n\theta+i\sin n\theta)\ (\text{∵ ド・モアブルの定理})\\&&1=\cos 0+i\sin 0\end{eqnarray*}$$
より
$$r^{n}(\cos n\theta+i\sin n\theta)=\cos 0+i\sin 0 \ \cdots (\text{＊})$$
となる. このとき, (＊)を満たす \(r, \theta\)を求める. 両辺の絶対値と偏角を比較すると
$$\begin{eqnarray*}r^{n}&=&1\\ n\theta &=&0+(2\pi\times k)\ (k\text{は整数})\end{eqnarray*}$$
よりこれらを満たす $r,\ \theta$ は
$$\begin{eqnarray*} r&=&1\\ \theta&=&\frac{2\pi}{n}\times k\ (k=0,1,\cdots, n-1)\end{eqnarray*}$$
注意：
$ r > 0$ より, $r=+1 $
$0\leq \theta < 2\pi $より, $ k=0,1,\cdots , n-1 $
よって $z^{n}=1$ の解は次で与えられる.
$$\omega_{k}=\cos \left(\frac{2\pi}{n}\times k\right)+i\sin \left(\frac{2\pi}{n}\times k\right)\ (k=0,1,\cdots, n-1)$$
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