$X$ を確率変数, $a,b$ を定数とする. このとき次が成り立つ：
$$M_{aX+b}(t)=\mathrm{e}^{tb}M_{X}(at)$$
証明
\begin{eqnarray*}M_{aX+b}(t)&=&E[\mathrm{e}^{(aX+b)t}]\\&=&E[\mathrm{e}^{atX}\mathrm{e}^{bt}]\\&=&\mathrm{e}^{bt}E[\mathrm{e}^{atX}]\ \ \ (\text{ ∵ } \mathrm{e}^{bt} \text{ は定数})\\&=&\mathrm{e}^{tb}M_{X}(at)\end{eqnarray*}