期待値 $E[X]$ はモーメント母関数を用いれば次のようにあらわされる：
$$E[X]= M’_{X}(0)$$
証明
これは $E[X^{k}]= [\frac{d^{k}}{dt^{k}}M_{X}(t)]_{t=0}$ の $k=1$ の場合である.
実際, $M_{X}(t)=E[\mathrm{e}^{Xt}]$ を $t$ に関して微分すれば
$$M’_{X}(t)=E[X\mathrm{e}^{Xt}]$$
このとき, 上式に $t=0$ を代入すれば次を得る：
$$M’_{X}(0)=E[X]$$