証明

これは $E[X^k]=[\frac{d^k}{d{t}^k}{M}_X(t){]}_{t=0}$ の $k=1$ の場合である.

実際, $M_X(t)=E[{\mathrm{e}}^{Xt}]$ を $t$ に関して微分すれば

$$M_X^{\prime }(t)=E[X{\mathrm{e}}^{Xt}]$$

このとき, 上式に $t=0$ を代入すれば次を得る：

$$M_X^{\prime }(0)=E[X]$$