$X^{k}$ の期待値 $E[X^{k}]$ はモーメント母関数を用いれば次のように表わされる：
$$E[X^{k}]= \left[\frac{d^{k}}{dt^{k}}M_{X}(t)\right]_{t=0}$$
証明
$\rm{e}^{Xt}$ のマクローリン展開により, $M_{X}(t)$ は次のように展開される：
\begin{eqnarray*}M_{X}(t)&=&E[\rm{e}^{Xt}]\\&=&E[1+\frac{X}{1!}t+\frac{X^{2}}{2!}t^{2}+\cdots +\frac{X^{n}}{n!}t^{n}+\cdots ]\\&=&E[1]+\frac{E[X]}{1!}t+\frac{E[X^{2}]}{2!}t^{2}+\cdots +\frac{E[X^{k}]}{k!}t^{k}+\cdots\end{eqnarray*}
このとき展開式の右辺において $E[X^{k}]$ は $\frac{t^{k}}{k!}$ の係数であるので, $M_{X}(t)$ を $k$ 回微分して $t=0$ を代入すれば
$$E[X^{k}]= M^{(k)}_{X}(0)=\left[\frac{d^{k}}{dt^{k}}M_{X}(t)\right]_{t=0}$$
このとき $M^{(k)}_{X}(0)$ は $t=0$ における $M_{X}(t)$ の $k$ 次微分係数を表す.