二項係数 ${}_{n}C_{k}$ について次の等式が成り立つ. $$k\times {}_{n}\mathrm{C}_{k}=n\times {}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}$$
証明 ：
\begin{eqnarray*}k\times{}_{n}\mathrm{C}_{k}&=&k\times\frac{n!}{k!(n-k)!}\\ &&\\&=&\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\\ && \\&=&\frac{n(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\\ && \\&=&n\times\frac{(n-1)!}{(k-1)!\{(n-1)-(k-1)\}!}\\ && \\&=&n\times {}_{n-1}C_{k-1}\end{eqnarray*}