二項係数 ${}_{n}C_{k}$ について次の等式が成り立つ. $${}_{n}\mathrm{C}_{k}={}_{n}\mathrm{C}_{n-k}$$
組合せ論的に考えてみると・・・
${}_{n}C_{k}$ は $n$ 人の女の子の中から ホテルに誘う$k$ 人の女の子を選ぶ組合せの数を表している. 誘う女の子が $k$ 人決まると、ホテルの誘わない $n-k$ 人の女の子の組合せ数も決まるよね.
だ・か・ら！「${}_{n}C_{k}$ : $n$人の女の子からホテルに誘う$k$ 人を選ぶ組み合わせ数」＝「${}_{n}C_{n-k}$ : $n$ 人の女の子からホテルに誘わない $n-k$ 人を選ぶ組み合わせ数」だね～
証明 ：代数的に式変形で証明だってできるっよん！
\begin{eqnarray*}{}_{n}C_{k}&=&\frac{n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\\&=&\frac{n!}{\{n-(n-k)\}!(n-k)!}=\frac{n!}{(n-k)!\{n-(n-k)\}!}\\&=&{}_{n}C_{n-k}\end{eqnarray*}