関数 $z=f(x,y)$ が $x,\ y$ について偏微分可能で, $x=\varphi(t),\ y=\psi(t)$ が $t$ について微分可能ならば
$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot \frac{dy}{dt}$$
上式での $\frac{\partial z}{\partial x}$ は偏微分の「$\partial$ 」, $\frac{dx}{dt}$ は常微分の 「$d$」であることに注意する.
これは 1変数関数の場合の合成関数の微分：
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}$$
の一般化になっている.
例題
$$z=x^{2}+y^{2},\ \ x=\cos t,\ y=\sin t\ \text{について $\frac{dz}{dt}$を求めよ.}$$
解答：
$\frac{\partial z}{\partial x}=2x=2\cos t,\ \frac{\partial z}{\partial y}=2y=2\sin t$
$\frac{dx}{dt}=-\sin t,\ \frac{dy}{dt}=\cos t$
よって$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot \frac{dy}{dt}=2\cos t\cdot (-\sin t)+2\sin t\cdot \cos t=0$$
$f(x,y)$ が$u,v$ について２変数の場合
関数 $z=f(x,y)$ が $x,\ y$ が全微分可能で, $x=\varphi(u,v),\ y=\psi(u,v)$ が $u,\ v$ について偏微分可能ならば, 合成関数 $f(\varphi(u,v), \psi(u,v))$ の $u,\ v$ についての偏導関数は次で求まる:
$$\begin{eqnarray*}\frac{\partial z}{\partial u}&=&\frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial u}\\\frac{\partial z}{\partial v}&=&\frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial v}\end{eqnarray*}$$
$f(x,y)$ は $f(\varphi(u,v),\ \psi(u,v))$ より $u,v$ の２変数関数であるので, それぞれ $u$ と $v$ について偏微分を考えることになるので $\partial$ を用いる.
例題:
$$z=f(x,y)\ \text{において極座標変換を行い $\frac{\partial z}{\partial r},\ \frac{\partial z}{\partial \theta}$を求めよ.}$$
解答：直交座標から極座標変換は次で与えられる：
$\begin{eqnarray*}x&=&r\cos \theta\\y&=&r\sin\theta \end{eqnarray*}$
よってもとめる偏導関数は
$\frac{\partial z}{\partial r}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}=\frac{\partial z}{\partial x}\cos\theta+\frac{\partial z}{\partial y}\sin\theta$
$\frac{\partial z}{\partial \theta}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \theta}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \theta}=-\frac{\partial z}{\partial x}r\sin\theta+\frac{\partial z}{\partial y}r\cos\theta$
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