部分積分は、2つの関数積の積分を変換するための公式である。 変換により, 複雑な積分計算を可能にする場合がある。 いくつかのパターンに有効で、特に片方の関数が微分をすれば簡単になる場合, または $\log x$ の形式を含む場合などがよく知られている.

Examples :

(Case 1) 片方の関数が微分すれば簡単になる場合

Example : $\int x\sin x\ dx$ を求めよ.

---

Solution: $x$ を微分すれば $1$ となるので ( i.e, $\frac{d}{dx} x=1$ ), $f (x) =x$, $g'(x)=\sin x$ とおく. このとき $f'(x)=1$, $g(x)=-\cos x$ より

$$\begin{eqnarray*}\int x\sin x\ dx&=&f(x)g(x)-\int f'(x)g(x) \ dx\\&=&x\cdot (-\cos x)-\int 1\cdot (-\cos x)\ dx\\&=&-x\cos x+\int \cos x\ dx\\&=&-x\cos x+\sin x+C\end{eqnarray*}$$

(Case 2) $\log x$ を含む場合.

Example : $\int \ln x\ dx$ を求めよ.

---

Solution: $\ln x$ を微分すれば $\frac{1}{x}$ となるので (i,e., $\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$ ), $f (x) = \ln x$, $g'(x)=1$ とおく. このとき $f'(x)=\frac{1}{x}$, $g(x)=x$ より

$$\begin{eqnarray*}\int \ln x\ dx&=&f(x)g(x)-\int f'(x)g(x) \ dx\\&=&(\ln x)\cdot x-\int \frac{1}{x}\cdot x\ dx\\&=&x\ln x-\int 1\ dx\\&=&x\ln x-x+C\end{eqnarray*}$$

Proof

積の微分公式より

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=f'(x)g(x)+ g'(x)f(x)$$

上式を積分すれば

$$f(x)g(x)+C=\int f'(x)g(x)\ dx+\int g'(x)f(x)\ dx$$

よって書き換えれば部分積分の公式を得る：

$$\int f(x)g'(x)\ dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x) \ dx$$

ただし部分積分の公式では両辺に不定積分が含まれているため、積分定数 C を省略していることに注意する.