ここで ${}_{n} C_{i}=\frac{n!}{i!(n-i)!}$ は二項係数, $f^{(i)}(x)$ は $f(x)$ の第 $i$ 次導関数を表すものとする. また $f^{(0)}(x)=f(x)$ であることに注意する.

第 $i$ 次導関数	${}_{n}\mathrm{C}_{k}$ 記法
$(fg)^{(0)}=fg=f^{(0)}g^{(0)}$	$(fg)^{(0)}={}_{0}\mathrm{C}_{0}f^{(0)}g^{(0)}$
$(fg)’=f’g+fg’=f^{(1)}g^{(0)}+f^{(0)}g^{(1)}$	$(fg)^{(1)}={}_{1}\mathrm{C}_{0}f^{(1)}g^{(0)}+{}_{1}\mathrm{C}_{1}f^{(0)}g^{(1)}$
$(fg)^{(2)}=f^{(2)}g^{(0)}+2f^{(1)}g^{(1)}+f^{(0)}g^{(2)}$	$(fg)^{(2)}={}_{2}\mathrm{C}_{0}f^{(2)}g^{(0)}+{}_{2}\mathrm{C}_{1}f^{(1)}g^{(1)}+{}_{2}\mathrm{C}_{2}f^{(0)}g^{(2)}$
$(fg)^{(3)}=f^{(3)}g^{(0)}+3f^{(2)}g^{(1)}+3f^{(1)}g^{(2)}+f^{(0)}g^{(3)}$	$(fg)^{(3)}={}_{3}\mathrm{C}_{0}f^{(3)}g^{(0)}+{}_{3}\mathrm{C}_{1}f^{(2)}g^{(1)}+{}_{3}\mathrm{C}_{2}f^{(1)}g^{(2)}+{}_{3}\mathrm{C}_{3}f^{(0)}g^{(3)}$

この定理は二項定理 : $(x+y)^{n}=\sum_{r=0}^{n}{}_{n} C_{r} x^{r}y^{n-r}$ とよく似ているので覚えやすい. また帰納法により証明される.

Example 1

$f(x)=x^{3}\mathrm{e}^{x}$ について, $f^{(n)}(x)$ を求めよ.

Solution : $f_{1}(x)=x^{3}, \ \ f_{2}(x)=\mathrm{e}^{x}$ とおくと

\begin{eqnarray*}&&f_{1}^{(n)}(x)=\mathrm{e}^{x}\\&&f^{(1)}_{2}(x)=3x^{2}, \ \ f^{(2)}_{2}(x)=6x, \ \ f_{2}^{(3)}(x)=6 \ \ f_{2}^{(n)}(x)=0\ \ (n\geq 4)\end{eqnarray*}

このときライプニッツの定理より

\begin{eqnarray*}f^{(n)}(x)&=&{}_{n}C_{0}\mathrm{e}^{x}\cdot x^{3}+{}_{n}C_{1}\mathrm{e}^{x}\cdot 3x^{2}+{}_{n}C_{2}\mathrm{e}^{x}\cdot 6x+{}_{n}C_{3}\mathrm{e}^{x}\cdot 6\\&=&\mathrm{e}^{x}\{x^{3}+3nx^{2}+3n(n-1)x+n(n-1)(n-2)\}\end{eqnarray*}

Example 2

$f(x)=\frac{1}{x^{3}+1}$ について, $f^{(n)}(0)$ を求めよ.

Solution : $y=\frac{1}{x^{3}+1}$ とすると, $y(x^{3}+1)=1$ . ライプニッツの定理より

\begin{eqnarray*}&&{}_{n}C_{0}y^{(n)}\cdot (x^{3}+1)+{}_{n}C_{1}y^{(n-1)}\cdot 3x^{2}+{}_{n}C_{2}y^{(n-2)}\cdot 6x+{}_{n}C_{3}y^{(n-3)}\cdot 6=0\\&&(x^{3}+1)y^{(n)}+3nx^{2}y^{(n-1)}+3n(n-1)xy^{(n-2)}+n(n-1)(n-2)y^{(n-3)}=0\end{eqnarray*}

このとき $x=0$ とおくと,

$$f^{(n)}(0)+n(n-1)(n-2)f^{(n-3)}(0)=0$$

また

$$f(0)=1, \ \ f'(0)=f”(0)=0$$

より, 次を得る.

\begin{cases}f^{(3m)}(0)=(-1)^{m}(3m)! & \\f^{(3m+1)}(0)=f^{(3m+2)}(0)=0 & \end{cases}