モーメント母関数を用いて証明する.

確率変数 X が二項分布 $B(n, p)$ に従うときのモーメント母関数は

$$M(t)=(q+p\mathrm{e}^{t})^{n}$$

で与えられる. このときモーメント母関数と期待値の関係

$$E[X]=M'(0)$$

より

$$M’_{X}(t)=np\rm{e}^{t}(p\mathrm{e}^{t}+q)^{n-1}$$

を計算すれば次を得る.

$$E[X]=M’_{X}(0)=np(p+q)=np$$