二項分布 | 期待値
モーメント母関数を用いて証明する. 確率変数 X が二項分布 $B(n, p)$ に従うときのモーメント母関数は $$M(t)=(q+p\mathrm{e}^{t})^{n}$$ で与えられる. このときモーメント母関数 […]
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モーメント母関数を用いて証明する. 確率変数 X が二項分布 $B(n, p)$ に従うときのモーメント母関数は $$M(t)=(q+p\mathrm{e}^{t})^{n}$$ で与えられる. このときモーメント母関数 […]
もっと読む →証明 \begin{eqnarray*}M_{aX+b}(t)&=&E[\mathrm{e}^{(aX+b)t}]\\&=&E[\mathrm{e}^{atX}\mathrm{e}^{bt […]
もっと読む →証明 \begin{eqnarray*}M_{X+Y}(t)&=&E[\mathrm{e}^{(X+Y)t}]\\&=&E[\mathrm{e}^{Xt}\mathrm{e}^{Yt}]\ […]
もっと読む →証明 これはモーメント母関数の性質 : $E[X^{k}]= [\frac{d^{k}}{dt^{k}}M_{X}(t)]_{t=0}$ より証明される. 実際に $M_{X}(t)=E[\mathrm{e}^{Xt}] […]
もっと読む →証明 これは $E[X^{k}]= [\frac{d^{k}}{dt^{k}}M_{X}(t)]_{t=0}$ の $k=1$ の場合である. 実際, $M_{X}(t)=E[\mathrm{e}^{Xt}]$ を $t […]
もっと読む →証明 $\rm{e}^{Xt}$ のマクローリン展開により, $M_{X}(t)$ は次のように展開される： \begin{eqnarray*}M_{X}(t)&=&E[\rm{e}^{Xt}]\\&am […]
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