$$\int_{a}^{b} f(x)\ dx=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f\left(a+\frac{b-a}{n}i\right)\cdot \frac{b-a}{n} $$
$f(x)$ を区間 $[a,b]$で連続な関数とする.
このとき $[a,b]$ を $n$ 等分すると, 分割の幅は $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ となる.
$x_{i}=a+\frac{b-a}{n}i$ とおけば, 区間 $[a,b]$ における $f(x)$ の定積分の値は
$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\ dx=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f\left(x_{k}\right)\cdot \Delta x $
と表される.
例題
$\begin{eqnarray*}&&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}\right)\\&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n+i}\\&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{i}{n}}\cdot \frac{1}{n}\\&=&\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x}\ dx\\&=&[\log (1+x)]_{0}^{1}\\&=&\log 2\end{eqnarray*}$
問題
$\int_{0}^{1} x^{2}\ dx$ をリーマン和の極限の定義の基づいて計算せよ.
解答：リーマン和の定義において, $a=0,\ b=1$ とする.
このとき区間 $[0,1]$ を $n$ 等分する分割の幅は $\Delta x=\frac{b-a}{n}=\frac{1}{n}$ となる.
また $x_{i}=a+\frac{b-a}{n}i=\frac{i}{n}$ となるので
$\begin{eqnarray*}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_{i})\cdot \Delta x&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{i}{n}\right)^{2}\cdot \left(\frac{1}{n}\right)\\&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{3}}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} i^{2}\\&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{3}}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{6}\left(1\cdot(1+\frac{1}{n})\cdot(2+\frac{1}{n})\right)\\&\xrightarrow{n\rightarrow \infty}& \frac{1}{3}\end{eqnarray*}$
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n!}{n^{n}}\right)^{\frac{1}{n}}$ を求めよ.
解答： 級数の形で表すために, $\log \left(\frac{n!}{n^{n}}\right)^{\frac{1}{n}}$ で変形する：
$\begin{eqnarray*}&&\log \left(\frac{n!}{n^{n}}\right)^{\frac{1}{n}}\\&=&\frac{1}{n}\log\frac{n!}{n^{n}}\\&=&\frac{1}{n}\log \left(\frac{1}{n}\cdot\frac{2}{n}\cdots \frac{n}{n}\right)\\&=&\frac{1}{n}\left(\log\frac{1}{n}+\log\frac{2}{n}+\cdots \log\frac{n}{n}\right)\\&=&\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\log\frac{i}{n}\end{eqnarray*}$
これより
$\begin{eqnarray*}&&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\log\left(\frac{n!}{n^{n}}\right)^{\frac{1}{n}}\\&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\log\frac{i}{n}\\&=&\int_{0}^{1} \log x\ dx\\&=&[x\log x-x]_{0}^{1}\ \ \ \text{（注）}\\&=&-1=\log\frac{1}{e}\end{eqnarray*}$
よって $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n!}{n^{n}}\right)^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{e}$
（注） $\int_{0}^{1} \log x\ dx$ は厳密には広義積分となる. $\left(\displaystyle\int_{0}^{1}\log x \ dx=\displaystyle\lim_{t\rightarrow +0} \int_{t}^{1} \log x\ dx=\lim_{t\rightarrow +0}[x\log x-x]_{t}^{1}\right)$