確率変数 X が二項分布に従うとき, モーメント母関数は次で与えられる.
$$M(t)=(p\mathrm{e}^{t}+q)^{n}$$
確率変数 X が二項分布に従うとき, 確率分布関数は次で与えられる.
$$f(x)=P(X=x)={}_{n} C_{x}p^{x}q^{n-x}\ \ \ \ \ \ \ (p+q=1)$$
このとき モーメント母関数の定義より :
\begin{eqnarray*}M_{X}(t)=E[\rm{e}^{Xt}]&=&\displaystyle\sum_{x} \rm{e}^{xt}f(x)\\&& \\&=&\displaystyle\sum_{x=0}^{n} \rm{e}^{xt}{}_{n} C_{x}p^{x}q^{n-x}\\&& \\&=&\displaystyle\sum_{x=0}^{n} {}_{n} C_{x}(p\rm{e}^{t})^{x}q^{n-x}\\&& \\&=&(p\mathrm{e}^{t}+q)^{n}\end{eqnarray*}