モーメント母関数を用いて証明する.

確率変数 X が二項分布 $B(n, p)$ に従うときのモーメント母関数は

$$M(t)=(p\mathrm{e}^{t}+q)^{n}$$

で与えられる. このときモーメント母関数と期待値の関係

$$V[X]=E[X^{2}]-{E[X]}^{2}=M^{(2)}_{X}(0)-M’_{X}(0)^{2}$$

より

\begin{eqnarray*}M’_{X}(t)&=&np\rm{e}^{t}(p\mathrm{e}^{t}+q)^{n-1}\\M^{(2)}_{X}(t)&=&np\rm{e}^{t}(p\mathrm{e}^{t}+q)^{n-2}\{(p\mathrm{e}^{t}+q)+\rm{e}^{t}(n-1)p\}\end{eqnarray*}

を計算すれば次を得る.

\begin{eqnarray*}V[X]&=&E[X^{2}]-{E[X]}^{2}=M^{(2)}_{X}(0)-M’_{X}(0)^{2}\\&=&np-np^{2}=np(1-p)=npq\end{eqnarray*}