モーメント母関数は確率分布と一意に対応していることから, 様々な証明や分布の導出などで用いられる. また期待値・分散の計算もモーメント母関数を用いることで計算が簡略化される. ( → 例を参照 )

離散型 / 連続型

モーメント母関数は離散型・連続型に対してそれぞれ次のような式で定義される:

$$\begin{eqnarray*}E[\rm{e}^{Xt}]&=&\sum_{x} \rm{e}^{xt}f(x)\ \ \ (X \text{：離散型}) \\E[\rm{e}^{Xt}]&=&\int_{-\infty}^{\infty} \rm{e}^{xt}f(x) \rm{dx} \ \ \ (X \text{：連続型})\end{eqnarray*}$$

ただし $f(x)=P(X=x)$ は確率関数とする.

Properties

$E[X^{k}]= [\frac{d^{k}}{dt^{k}}M_{X}(t)]_{t=0}$	Proof
$E[X]= M’_{X}(0)$	Proof
$V[X]=E[X^{2}]-{E[X]}^{2}=M^{(2)}_{X}(0)-M’_{X}(0)^{2}$	Proof
確率変数 $X$ と $Y$ が独立である場合 $M_{X+Y}(t)=M_{X}(t)M_{Y}(t)$	Proof
$M_{aX+b}(t)=\mathrm{e}^{tb}M_{X}(at)$	Proof

例

確率変数 $X$ が二項分布 $B(n, p)$ に従うとき, モーメント母関数を用いて平均と分散を求めよ.

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Solution : 確率変数 $X$ が二項分布に従うとき, 確率関数は以下で与えられる:

$$f(x)=P(X=x)={}_{n} C_{x}p^{x}q^{n-x}$$

ただし $p+q=1, 0<p<1$.

このときモーメント母関数は次のよう求められる：

\begin{eqnarray*}M_{X}(t)=E[\rm{e}^{Xt}]&=&\displaystyle\sum_{x} \rm{e}^{xt}f(x)\\&& \\&=&\displaystyle\sum_{x=0}^{n} \rm{e}^{xt}{}_{n} C_{x}p^{x}q^{n-x}\\&& \\&=&\displaystyle\sum_{x=0}^{n} {}_{n} C_{x}(p\rm{e}^{t})^{x}q^{n-x}\\&& \\&=&(p\mathrm{e}^{t}+q)^{n}\end{eqnarray*}

また $E[X],\ E[X^{2}]$ を求めるために $M_{X}(t)$ を微分すれば

\begin{eqnarray*}M’_{X}(t)&=&np\rm{e}^{t}(p\mathrm{e}^{t}+q)^{n-1}\\M^{(2)}_{X}(t)&=&np\rm{e}^{t}(p\mathrm{e}^{t}+q)^{n-2}\{(p\mathrm{e}^{t}+q)+\rm{e}^{t}(n-1)p\}\end{eqnarray*}

よって次を得る：

\begin{eqnarray*}E[X]&=& M’_{X}(0)=np(p+q)=np\ \ \ (\text{ ∵ } p+q=1)\\&& \\E[X^{2}]&=&M^{(2)}(0)=np(1+np-p)\\&& \\V[X]&=&E[X^{2}]-{E[X]}^{2}=M^{(2)}_{X}(0)-M’_{X}(0)^{2}\\&=&np-np^{2}=np(1-p)=npq\end{eqnarray*}