テイラーの定理は平均値の定理 ($n=1$) を一般化したものである.

またテイラーの定理を用いれば, 関数を多項式で表すことが可能となる.

定理における $R_n=\frac{f^n(c)}{n!}(b-a{)}^n$ は剰余項と呼ばれ, 関数 $f(x)$ を多項式で近似した場合の誤差となる.

テイラーの定理とテイラー展開

テイラーの定理において $b=x$ とおけば

となるがこれを剰余 $R_n=\frac{f^n(c)}{n!}(x-a{)}^n$ を伴ったテイラー級数という.

また$n\to \mathrm{\infty }$ で $R_n\to 0$ となるとき, $f(x)$ は無限級数で表されることとなる. つまり

このように $f(x)$ が無限級数で表されるとき, これを $f(x)$ の $x=a$ におけるテイラー展開という.

証明

$G(x):=f(x)+f^{\prime }(x)\frac{(b-x)}{1!}+f”(a)\frac{(b-x{)}^2}{2!}+\cdots +f^{(n-1)}(x)\frac{(b-x{)}^{n-1}}{(n-1)!}+K\frac{(b-x{)}^n}{n!}\text{(}K\text{ は定数)}$

とおき

$G(a)=G(b)$ となるように $K$ を定める.

このとき関数 $G(x)$ は平均値の定理より

$$G^{\prime }(c)=\frac{G(b)-G(a)}{b-a}=0$$

となる $c(a<c<b)$ が存在する.

また $n$ に関する帰納法を用いれば

${(f(x)+f^{\prime }(x)\frac{(b-x)}{1!}+f”(a)\frac{(b-x{)}^2}{2!}+\cdots +f^{(n-1)}(x)\frac{(b-x{)}^{n-1}}{(n-1)!})}^{\prime }=f^{(n)}(x)\frac{(b-x{)}^{n-1}}{(n-1)!}$

となるので

$\begin{array}{rcl}{G}^{\prime }(x)& =& f^{(n)}(x)\frac{(b-x{)}^{n-1}}{(n-1)!}-K\frac{(b-x{)}^{n-1}}{(n-1)!}\\ & =& (f^{(n)}(x)-K)\frac{(b-x{)}^{n-1}}{(n-1)!}\end{array}$

となる. ここで $x=c$ を代入すれば

$G^{\prime }(c)=(f^n(c)-K)\frac{(b-c{)}^{n-1}}{(n-1)!}=0$

より

$f^{(n)}(c)=K$ を得る.

これを$G(x)$ に代入すれば

$G(x)=f(x)+f^{\prime }(x)\frac{(b-x)}{1!}+f”(a)\frac{(b-x{)}^2}{2!}+\cdots +f^{(n-1)}(x)\frac{(b-x{)}^{n-1}}{(n-1)!}+f^{(n)}(c)\frac{(b-x{)}^n}{n!}$

となる. このとき

$$G(a)=G(b)=f(b)$$

であることに留意して, $G(x)$に $x=a$ を代入すれば, 次を得る：

$$f(b)=G(a)=f(a)+f^{\prime }(a)\frac{(b-a)}{1!}+f”(a)\frac{(b-a{)}^2}{2!}+\cdots +f^{(n-1)}(a)\frac{(b-a{)}^{n-1}}{(n-1)!}+f^{(n)}(c)\frac{(b-a{)}^n}{n!}$$

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