証明 : $a^{x}-1=t \left(\text{すなわち} x=\frac{\log_{e} (1+t)}{\log_{e} a }\right)$ とおくと

$x\rightarrow 0$ のとき $t\rightarrow 0$ となる.

$\begin{eqnarray*}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a^{x}-1}{x}&=&\displaystyle\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t (\log_{e} a)}{\log_{e} (1+t)}\\&=&\displaystyle\lim_{t\rightarrow 0}\frac{(\log_{e} a)}{\log_{e} (1+t)^{\frac{1}{t}}}\\&=&\frac{\log_{e} a}{\log_{e} e}\\&=&\log_{e} a\end{eqnarray*}$

Notice：これは $f(x)=a^{x}$ における $x=0$における微分係数 $f'(0)=\log_{\mathrm{e}} a$ を表している.