証明： 極限の公式 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x}{e^{x}}=0$ において

$e^{x}=t \left( \text{ すなわち } x=\log\{e} t \right)$ とおくと

$x\rightarrow \infty$ のとき $t\rightarrow \infty$ となる.

このとき

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x}{e^{x}}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\log_{e} t}{t}$

より

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\log_{e} t}{t}=0$ を得る.

$t$ を $x$ と置き換えればよい.

Notice：ロピタルの定理を用いてもこの極限値を求めることができる.