証明： $e$ の定義式：$\mathrm{e}:=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}$ において, 両辺の自然対数をとると

$\log_{e} e=\log_{e}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}$

これより

左辺 $=1$

右辺 $=\displaystyle\lim_{n\rightarrow 0}\log_{e} \left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\log_{e}\left(1+x\right)}{x}$

よって $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\log (1+x)}{x}=1$ が成立する.