$\sin x, \cos x$ の有理関数についての積分では $\tan\frac{x}{2}=t$ とおけばよい.
このとき $\sin x, \cos x$ の有理関数 ($f(\sin x, \cos x)$) についての積分は以下で帰着する:
$$\int f(\sin x, \cos x)\ dx=\int f\left(\frac{2t}{1+t^{2}}, \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right) \cdot\frac{2}{1+t^{2}}\ dt$$
例題
$\int \frac{1}{3\sin x+4\cos x}\ dx$ を求めよ.
$\begin{eqnarray*}\int \frac{1}{3\sin x+4\cos x}\ dx&=&\int \frac{1}{3\frac{2t}{1+t^{2}}+4\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}\cdot\frac{2}{1+t^{2}}\ dt\\&=&\int \frac{1}{-2t^{2}+3t+2}\ dt\\&=&\int\ \frac{1}{5}\left(\frac{2}{2t+1}-\frac{1}{t-2}\right)\ dt\\&=&\frac{1}{5}\log \frac{|2t+1|}{|t-2|}+C\\&=&\frac{1}{5}\log \frac{|2\tan\frac{x}{2}+1|}{|\tan\frac{x}{2}-2|}+C\end{eqnarray*} $
証明
$\tan\frac{x}{2}=t$ とおけば
$$\sin x= \frac{2t}{1+t^{2}},\ \ \ \cos x= \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, \ \ \ \ dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt$$
証明：
$\sin x=\sin \left(2\cdot \frac{x}{2}\right)=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=\frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{\cos^{2}\frac{x}{2}+\sin^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^{2}}$
$\cos x=\cos \left(2\cdot \frac{x}{2}\right)=\cos^{2}\frac{x}{2}-\sin^{2}\frac{x}{2}=\frac{\cos^{2}\frac{x}{2}-\sin^{2}\frac{x}{2}}{\cos^{2}\frac{x}{2}+\sin^{2}\frac{x}{2}}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$
$\frac{dt}{dx}=\frac{1}{\cos^{2} \frac{x}{2}}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1+t^{2}}{2}$ より $dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt$.