$\int\ f(g(x))\ g'(x)\ dx$ において $g(x)=t$ とおくと

$$\frac{dt}{dx}=g'(x)\ \text{より}\ \ g'(x)dx=dt$$

よって $\int\ f(t)\ dt=\int\ f(g(x))\ g'(x)\ dx$ が成り立つ.

---

$\fbox{例題：$\int\ \cos^{2} x\cdot \sin x\ dx$ を求めよ.}$

$t=\cos x$ とすると　

$\frac{dt}{dx}=(\cos x)’=-\sin x$ より, $dt=(-\sin x) dx$.

よって

$\begin{eqnarray*}\int\ \cos^{2} x\cdot \sin x\ dx&=&-\int\ \cos^{2} x\cdot(-\sin x)\ dx\\&=&-\int\ \cos^{2} x\cdot (\cos x)’\ dx\\&=&-\int\ t^{2}\ dt\\&=&-\frac{t^{3}}{3}+C\\&=&-\frac{cos^{3} x}{3}+C\end{eqnarray*}$

証明

$f(t)$ の原始関数を $F(t)$ とおく.

(すなわち $\frac{d}{dt} F(t)=f(t)$ または $\int\ f(t)\ dt=F(t)+C$ .)

このとき $t=g(x)$ より

$y=F(t)=F\left(g(x)\right)$ .

$y=F(t)$ を $x$ で微分すると

$\begin{eqnarray*}\frac{d}{dx}F(t)&=&\frac{dy}{dx}\\&=&\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}\ (\text{∵ 合成関数の微分法})\\&=&f(t)\cdot g'(x)\\&=&f\left(g(x)\right)\cdot g'(x)\end{eqnarray*}$

よって $\frac{d}{dy}F(t)=f\left(g(x)\right)\cdot g'(x)$ を 積分すれば次の関係式を得る：

$\begin{eqnarray*}\int\ f(g(x))\ g'(x)dx&=&F\left(g(x)\right)+C\\&=&F(t)+C\\&=&\int f(t)\ dt\end{eqnarray*}$

注： $t=g(x)$ より $\frac{dt}{dx}=g'(x)$ であるので, $dt=g'(x)\cdot dx$ と書き表すと公式が覚えやすい.

問題

（解答 １）

$x^{2}+1=t$ とおくと $\frac{dt}{dx}=2x$ ($dt=2x\cdot dx$).

よって

$\begin{eqnarray*}&&\int\ x\sqrt{x^{2}+1}\ dx\\&=&\frac{1}{2}\int\ \sqrt{x^{2}+1}\cdot 2x\ dx\\&=&\frac{1}{2}\int\ \sqrt{t}\ dt\\&=&\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}+C\\&=&\frac{1}{3}\sqrt{(x^{2}+1)^{3}}+C\end{eqnarray*}$

（解答２）

$\log x=t$ とおくと $\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}$（$dt=\frac{1}{x}dx$）.

よって

$\begin{eqnarray*}&&\int\ \frac{\log x}{x}\ dx\\&=&\int\ \log x\cdot\frac{1}{x}\ dx\\&=&\int\ t\ dt\\&=&\frac{1}{2}t^{2}+C\\&=&\frac{1}{2}(\log x)^{2}+C\end{eqnarray*}$

（解答３）

$\int\ \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\ dx=\int\ \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{a})^{2}}}\cdot \frac{1}{a}\ dx$ と変形する.

このとき $\frac{x}{a}=t$ とおくと $\frac{dt}{dx}=\frac{1}{a}$（$dt=\frac{1}{a}dx$）.

よって

$\begin{eqnarray*}&&\int\ \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\ dx\\&=&\int\ \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}\ dt\\&=&\sin^{-1} t+C\\&=&\sin^{-1}\frac{x}{a}+C\end{eqnarray*}$

（解答４）

$\int\ \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\ dx=\frac{1}{a}\int\ \frac{1}{1+(\frac{x}{a})^{2}}\cdot \frac{1}{a}\ dx$ と変形する.

このとき $\frac{x}{a}=t$ とおくと $\frac{dt}{dx}=\frac{1}{a}$（$dt=\frac{1}{a}dx$）.

よって

$\begin{eqnarray*}&&\int\ \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\ dx\\&=&\frac{1}{a}\int\ \frac{1}{1+t^{2}}\ dt\\&=&\frac{1}{a}\tan^{-1} t+C\\&=&\frac{1}{a}\tan^{-1} \frac{x}{a}+C \end{eqnarray*}$

注意：問題 (3)・(4)は逆三角関数の積分の一般化となっており, 公式として扱われることもある. (3)・(4)のさらなる一般化は次のようなものもある：

• $\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-(px+q)^{2}}}\ dx=\frac{1}{p}\sin^{-1}\frac{px+q}{a} +C$
• $\int \frac{1}{a^{2}+(px+q)^{2}}\ dx=\frac{1}{ap}\tan^{-1}\frac{px+q}{a} +C$

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