逆三角関数の微分法は

• $\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
• $\frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
• $\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^{2}}$

となるので, 微分の逆演算である積分公式を得る.

注意：$(\sin^{-1} x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=-(\cos^{-1}x)’$ より, $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\ dx=\sin^{-1}x +C=-\cos^{-1} x+C$ である.

例題

問題 (1)～(4) は基本的な積分公式を使うために, 式変形を行い置換積分を用いる.

解答(1)

$\begin{eqnarray*}\int \frac{1}{\sqrt{9-16x^{2}}}\ dx&=&\int \frac{1}{\sqrt{3^{2}-(4x)^{2}}}\ dx\\&=&\frac{1}{3^{2}}\int \frac{\left(\frac{4x}{3}\right)’\cdot \frac{3}{4}}{\sqrt{1-(\frac{4x}{3})^{2}}}\ dx\\&=&\frac{1}{4}\sin^{-1}\frac{4}{3}x+C\end{eqnarray*}$

解答(2)

$\begin{eqnarray*}\int \frac{1}{\sqrt{1+x-x^{2}}}\ dx&=&\int \frac{1}{\sqrt{1-(x^{2}-x)}}\ dx\\&=&\int \frac{1}{\sqrt{\frac{5}{4}-(x-\frac{1}{2})^{2}}}\ dx\\&=&\int \frac{1}{\sqrt{(\frac{\sqrt{5}}{2})^{2}-(x-\frac{1}{2})^{2}}}\ dx\\&=&\sin^{-1}\frac{2x-1}{\sqrt{5}}+C\end{eqnarray*}$

解答(3)

$\begin{eqnarray*}\int \frac{1}{4x^{2}+4x+10}\ dx&=&\int \frac{1}{(2x+1)^{2}+3^{2}}\ dx\\&=&\frac{1}{3^{2}}\int \frac{\left(\frac{2x+1}{3}\right)’\cdot \frac{3}{2}}{(\frac{2x+1}{3})^{2}+1}\ dx\\&=&\frac{1}{6}\tan^{-1} \frac{2x+1}{3}+C\end{eqnarray*}$

解答(4)

積分公式を用いるために, $\frac{x}{x^{4}+x^{2}+1}$ を次のように書き替える：

$\begin{eqnarray*}\frac{x}{x^{4}+x^{2}+1}&=&\frac{x}{(x^{4}+2x^{2}+1)-x^{2}}\\&=&\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}-x^{2}}\\&=&\frac{x}{(x^{2}-x+1)(x^{2}+x+1)}\\&=&\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x^{2}-x+1}-\frac{1}{x^{2}+x+1}\right)\end{eqnarray*}$

よって

$\begin{eqnarray*}\int \frac{x}{x^{4}+x^{2}+1}\ dx&=&\int \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x^{2}-x+1}-\frac{1}{x^{2}+x+1}\right)\ dx\\&=&\frac{1}{2}\left( \int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}\ dx -\int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}\ dx\right)\\&=&\frac{1}{\sqrt{3}} \left(\tan^{-1}\frac{2x-1}{\sqrt{3}}-\tan^{-1}\frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right)+C\end{eqnarray*}$

積分公式

問題 (1)～(4) の積分の一般化として次の積分公式に帰着できる.

基本的な逆三角関数になる積分公式だけでなく, 次も公式として覚えておくのも◎

$t=\frac{px+q}{a}$ として置換積分を行う.

そのとき $\frac{dt}{dx}=\frac{p}{a}$, $dt=\frac{p}{a}dx$ より次の証明を得る.

証明 (1)：

$\begin{eqnarray*}\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-(px+q)^{2}}}\ dx&=&\frac{1}{p}\int \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{px+q}{a})^{2}}}\ \frac{p}{a}dx\\&=&\frac{1}{p}\int \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}\ dt\\&=&\frac{1}{p}\sin^{-1} t +C\\&=&\frac{1}{p}\sin^{-1}(\frac{px+q}{a})+C\end{eqnarray*}$

証明 (2)

$\begin{eqnarray*}\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-(px+q)^{2}}}\ dx&=&\frac{1}{p}\int \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{px+q}{a})^{2}}}\ \frac{p}{a}dx\\&=&\frac{1}{p}\int \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}\ dt\\&=&-\frac{1}{p}\cos^{-1} t +C\\&=&-\frac{1}{p}\cos^{-1}(\frac{px+q}{a})+C\end{eqnarray*}$

$\fbox{注意}$：$\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-(px+q)^{2}}}\ dx=\frac{1}{p}\sin^{-1}\frac{px+q}{a} +C=-\frac{1}{p}\cos^{-1}(\frac{px+q}{a})+C$ である.

証明 (3)

$\begin{eqnarray*}\int \frac{1}{a^{2}+(px+q)^{2}}\ dx&=&\frac{1}{ap}\int \frac{1}{1+(\frac{px+q}{a})^{2}}\ \frac{p}{a}dx\\&=&\frac{1}{ap}\int \frac{1}{1+t^{2}}\ dt\\&=&\frac{1}{ap}\tan^{-1} t +C\\&=&\frac{1}{ap}\tan^{-1}(\frac{px+q}{a})+C\end{eqnarray*}$

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