分数関数 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ の積分を求める.

ここで $P(x)$ と $Q(x)$ はともに多項式とする. すなわち

$$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots +b_{0}}$$

このとき, 次の手順で分数関数の不定積分を求める：

1. 分母と分子に共通因子があれば約分する.
2. 分子 $P(x)$ の次数が分母 $Q(x)$ の次数以上の場合は割り算をして, 分子の次数が分母の次数より小さくなるように変形する.
3. 分母を因数分解する.
4. 部分分数に分解する.
5. 積分計算をする.

例題

Step 1 ：分母と分子に共通因子があれば約分する.

$$\int \frac{2x^{5}-4x^{4}-5x^{3}+9x^{2}}{x^{4}-2x^{3}-3x^{2}}\ dx=\int \frac{x^{2}(2x^{3}-4x^{2}-5x+9)}{x^{2}(x^{2}-2x-3)}\ dx=\int \frac{2x^{3}-4x^{2}-5x+9}{x^{2}-2x-3}\ dx$$

Step 2 ：分子 $P(x)$ の次数が分母 $Q(x)$ の次数以上の場合は割り算をして, 分子の次数が分母の次数より小さくなるように変形する.

$$\frac{2x^{3}-4x^{2}-5x+9}{x^{2}-2x-3}=\frac{2x(x^{2}-2x-3)+(x-9)}{x^{2}-2x-3}=2x+\frac{x-9}{x^{2}-2x-3}$$

Step 3 ：分母を因数分解する.

$$2x+\frac{x-9}{x^{2}-2x-3}=2x+\frac{x-9}{(x+1)(x-3)}$$

Step 4：部分分数に分解する.

$$2x+\frac{x-9}{(x+1)(x-3)}=2x+\frac{-2}{x+1}+\frac{3}{x-3}$$

Step 5 ：積分計算をする.

$\begin{eqnarray*}\int \frac{2x^{5}-4x^{4}-5x^{3}+9x^{2}}{x^{4}-2x^{3}-3x^{2}}\ dx&=&\int \left(2x+\frac{-2}{x+1}+\frac{3}{x-3}\right)\ dx\\&=&\int 2x\ dx-2\int \frac{1}{x+1}\ dx+3\int \frac{1}{x-3}\ dx\\&=& x^{2}-2\ln|x+1| +3\ln |x-3|+C\\&=&x^{2}+\ln\frac{|x-3|^{3}}{(x+1)^{2}}+C\end{eqnarray*}$

部分分数展開について

基本的に部分分数展開を場合, 因数分解を行い数値代入法または係数比較法を用いて分母の次数を一次式に落とすこととなる.

ただし後述するように分母の関数 $P(x)$ の次数が高い場合は複雑になってくるので, その場合は因数分解を行い

数値代入法

与えられた分母の関数を因数分解を行い, 次のような部分分数展開をした形で表す.

$$\frac{x+9}{x^{2}-2x-3}=\frac{x+9}{(x+1)(x-3)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-3}$$

このとき

$$\text{ 右辺　}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-3} =\frac{A(x-3)+B(x+1)}{(x+1)(x+3)}=\frac{(A+B)x+(B-3A)}{(x+1)(x+3)}$$

左辺と右辺は等号が成り立つので以下の関係式が成り立つ：

$$x+9=A(x-3)+B(x+1)$$

ここで数値代入法を用いると

• $x=-1$ を代入すれば $8=-4A$
• $x=3$ を代入すれば $12=4B$

これより$A=-2,\ B=3$ を得る.

すなわち次のように部分分数展開される：

$$\frac{x+9}{x^{2}-2x-3}=\frac{-2}{x+1}+\frac{3}{x-3}$$

係数比較法

与えられた分母の関数を因数分解を行い, 次のような部分分数展開をした形で表す.

$$\frac{x+9}{x^{2}-2x-3}=\frac{x+9}{(x+1)(x-3)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-3}$$

このとき

$$\text{ 右辺　}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-3} =\frac{A(x-3)+B(x+1)}{(x+1)(x+3)}=\frac{(A+B)x+(B-3A)}{(x+1)(x+3)}$$

左辺と右辺は等号が成り立つので以下の関係式が成り立つ：

$$x+9=(A+B)x+(B-3A)$$

ここで, $x$ の次数の係数を比較すると

$\begin{cases}A+B=1 & \\B-3A=9 & \\\end{cases}$

これを連立方程式で解けば $A=-2,\ B=3$ を得る.

すなわち次のように部分分数展開される：

$$\frac{x+9}{x^{2}-2x-3}=\frac{-2}{x+1}+\frac{3}{x-3}$$

分母の因数分解について

部分分数に展開する上で１変数多項式 $Q(x)$ は, 実数の範囲で１次式と判別式が負の２次式の積に因数分解される：

$$Q(x)=\prod_{n=1}^{m}(a_{n}x+b_{n})^{r_{k}}\prod_{\ell=1}^{k}(A_{\ell}x^{2}+B_{\ell}x+C_{\ell})^{R_{\ell}}$$

ただし 2次式の積は判別式が負($B_{\ell}^{2}-4A_{\ell}C_{\ell} < 0$)となり, 実数の範囲では１次式に因数分解できないものとする.

このとき分数関数 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ は次の形に部分分数に分解されることとなる：

$$\begin{eqnarray*}\frac{R(x)}{Q(x)}&=&\sum_{n=1}^{m}\sum_{i=1}^{r_{n}}\frac{A_{n\ i}}{(a_{n}x+b_{n})^{i}}+\sum_{\ell=1}^{k}\sum_{j=1}^{R_{\ell}}\frac{D_{\ell}x+E_{\ell}}{(A_{\ell}x^{2}+B_{\ell}x+C_{\ell})^{j}}\end{eqnarray*}$$

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Case 1: $Q(x)=(a_{1}x+b_{1})(a_{2}x+b_{2})\cdots(a_{m}x+b_{m})$

$Q(x)$ が すべて異なる 1 次式の積で表されるとき

$$Q(x)=(a_{1}x+b_{1})(a_{2}x+b_{2})\cdots(a_{m}x+b_{m})$$

分数式 $\frac{R(x)}{Q(x)}$ は次の形の部分分数に分解される：

$$\frac{R(x)}{Q(x)}=\frac{A_{1}}{a_{1}x+b_{1}} +\frac{A_{2}}{a_{2}x+b_{2}}+\cdots \frac{A_{m}}{a_{m}x+b_{m}}.$$

Example：$\frac{x+9}{x^{2}-2x-3}=\frac{x+9}{(x+1)(x-3)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-3}=-\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x-3}$

Case 2 : \(Q(x)=(a_{1}x+b_{1})^{r_{1}}(a_{2}x+b_{2})^{r_{2}}\cdots(a_{m}x+b_{m})^{r_{m}}\)

$Q(x)$ を因数分解したとき, いくつか同じ１次式が含まれるとき：

$$Q(x)=(a_{1}x+b_{1})^{r_{1}}(a_{2}x+b_{2})^{r_{2}}\cdots(a_{m}x+b_{m})^{r_{m}}$$

このとき分数式 $\frac{R(x)}{Q(x)}$ は次の形の部分分数に分解される：

$$\begin{eqnarray*}\frac{R(x)}{Q(x)}&=&\frac{A_{11}}{a_{1}x+b_{1}}+\frac{A_{12}}{(a_{1}x+b_{1})^{2}}+ \cdots +\frac{A_{1\ r_{1}}}{(a_{1}x+b_{1})^{r_{1}}}\\&&+\cdots +\\&&\frac{A_{m1}}{a_{m}x+b_{m}}+\frac{A_{m\ r_{2}}}{(a_{m}x+b_{m})^{2}}+\cdots +\frac{A_{m\ r_{m}}}{(a_{m}x+b_{m})^{r_{m}}}\end{eqnarray*}.$$

Example：$\frac{2x+3}{x^{2}(x+1)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{(x+1)^{2}}=-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^{2}}+\frac{4}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^{2}}$

Case 3:\(Q(x)=\prod_{n=1}^{m}(a_{n}x+b_{n})^{r_{n}}\prod_{\ell=1}^{k}(A_{\ell}x^{2}+B_{\ell}x+C_{\ell})\)

$Q(x)$ が１次式と判別式が負の２次式の積（すなわち, $Q(x)$ が判別式が $B^{2}-4AC < 0$ となるような $Ax^{2}+Bx+C$ を含む場合）に因数分解され, かつそれぞれ異なる２次式であるとき：

$$\begin{eqnarray*}Q(x)=&&\prod_{n=1}^{m}(a_{n}x+b_{n})^{r_{n}}\prod_{\ell=1}^{k}(A_{\ell}x^{2}+B_{\ell}x+C_{\ell})\\=&&(a_{1}x+b_{1})^{r_{1}}\cdots(a_{m}x+b_{m})^{r_{m}}\\&&\times(A_{1}x^{2}+B_{1}x+C_{1})\cdots(A_{k}x^{2}+B_{k}x+C_{k})\end{eqnarray*}$$

このとき分数式 $\frac{R(x)}{Q(x)}$ は次の形の部分分数に分解される：

$$\begin{eqnarray*}\frac{R(x)}{Q(x)}&=&\sum_{n=1}^{m}\sum_{i=1}^{r_{n}}\frac{A_{n\ i}}{(a_{n}x+b_{n})^{i}}+\sum_{\ell=1}^{k}\frac{D_{\ell}x+E_{\ell}}{A_{\ell}x^{2}+B_{\ell}x+C_{\ell}}\end{eqnarray*}.$$

Example：$\frac{2x+3}{x^{2}(x^{2}+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+1}=\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}-\frac{2x+3}{x^{2}+1}$

Case 4: \(Q(x)=\prod_{n=1}^{m}(a_{n}x+b_{n})^{r_{n}}\prod_{\ell=1}^{k}(A_{\ell}x^{2}+B_{\ell}x+C_{\ell})^{R_{\ell}}\)

$Q(x)$ が１次式と判別式が負の２次式の積（すなわち, $Q(x)$ が判別式が $B^{2}-4AC < 0$ となるような $Ax^{2}+Bx+C$ を含む場合）に因数分解され, かつそれらのいくつかは同じものが含まれるとき：

$$\begin{eqnarray*}Q(x)=&&\prod_{n=1}^{m}(a_{n}x+b_{n})^{r_{n}}\prod_{\ell=1}^{k}(A_{\ell}x^{2}+B_{\ell}x+C_{\ell})^{R_{\ell}}\\=&&(a_{1}x+b_{1})^{r_{1}}\cdots(a_{m}x+b_{m})^{r_{m}}\\&&\times(A_{1}x^{2}+B_{1}x+C_{1})^{R_{1}}\cdots(A_{k}x^{2}+B_{k}x+C_{k})^{R_{k}}\end{eqnarray*}$$

このとき分数式 $\frac{R(x)}{Q(x)}$ は次の形の部分分数に分解される：

$$\begin{eqnarray*}\frac{R(x)}{Q(x)}&=&\sum_{n=1}^{m}\sum_{i=1}^{r_{n}}\frac{A_{n\ i}}{(a_{n}x+b_{n})^{i}}+\sum_{\ell=1}^{k}\sum_{j=1}^{R_{\ell}}\frac{D_{\ell}x+E_{\ell}}{(A_{\ell}x^{2}+B_{\ell}x+C_{\ell})^{j}}\end{eqnarray*}.$$

Example：$\frac{2x+3}{x^{2}(x^{2}+1)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+1}+\frac{Ex+F}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}-\frac{2x+3}{x^{2}+1}-\frac{2x+3}{(x^{2}+1)^{2}}$