三角関数

三角関数の不定形の極限では, 次の公式に帰着させて考えるとよい.

この極限値 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$ は自明ではないので, 幾何的な証明が与えられている. → 証明はこちら

Example

(1)$ \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 3x}{5x}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 3x}{3x}\cdot \frac{3}{5}=\frac{3}{5}$

(2)$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^{2}(1+\cos x)}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin^{2} x}{x^{2}(1+\cos x)}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}\cdot \frac{1}{1+\cos x}=1^{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

(3)$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x}{x}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{1}{x}=\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1}{\cos x}=1\cdot \frac{1}{1}=1$

対数関数・指数関数

e や対数関数を含む不定形, $(1+f(x))^{g(x)}$ の不定形の極限では, 次の公式に帰着させて考えるとよい.

これは $\mathrm{e}$ の定義式である. この式は次と同値である.

$$\displaystyle\lim_{x\rightarrow \pm \infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=\mathrm{e}$$

またこの定義式より次の極限値が得られる.

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a^{x}-1}{x}=\log_{\mathrm{e}} a$ を示す. （ これは $f(x)=a^{x}$ における $x=0$における微分係数 : $f'(0)$ にあたる. )

証明(1) : $a^{x}-1=t $ とおくと, $x=\frac{\log_{e} (1+t)}{\log_{e} a }$ で $x\rightarrow 0$ のとき $t\rightarrow 0$ より

$$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a^{x}-1}{x}=\displaystyle\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t (\log_{e} a)}{\log_{e} (1+t)}=\displaystyle\lim_{t\rightarrow 0}\frac{(\log_{e} a)}{\log_{e} (1+t)^{\frac{1}{t}}}=\frac{\log_{e} a}{\log_{e} e}=\log_{e} a$$

証明(2)：$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}=1$ も$e^{x}-1=t $ とおけば同様に求められる.

$e^{x}-1=t $ (すなわち $x=\log (1+t)$ )とおくと, $x\rightarrow 0$ のとき $t\rightarrow 0$ . このとき

$\begin{eqnarray*}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}&=&\displaystyle\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t }{\log_{e} (1+t)}\\&=&\displaystyle\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1 }{\frac{1}{t}\log_{e} (1+t)}\\&=&\displaystyle\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1 }{\log_{e} (1+t)^{\frac{1}{t}}}\\&=&\frac{1}{\log_{e} e}\\&=&1\end{eqnarray*}$

Example

(1) $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty} \left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)^{x}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\left(\left(1+\frac{1}{(-x^{2})}\right)^{-x^{2}}\right)^{\frac{1}{(-x)}}=\mathrm{e}^{0}=1$

(2) $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{5^{x}-3^{x}}{x}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(5^{x}-1)-(3^{x}-1)}{x}=\log_{e} 5-\log_{e}3=\log_{3}\frac{5}{3}$

(3) $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log_{e} (1+x)}{x}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \log_{e} (1+x)^{\frac{1}{x}}=\log_{e} e=1$

微分係数と極限値

$e^{x}, \log (1+x)$ や 三角関数 の $x=0$ の微分係数から、いくつか重要な極限値が得られる.

極限値	導出方法
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}=1$	$(\mathrm{e}^{x})’_{x=0}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{0}}{x-0}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}=[\mathrm{e}^{x}]_{x=0}1$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log (1+x)}{x}=1$	$\left(\log (1+x)\right)’_{x=0}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log (1+x)}{x}=[{\frac{1}{1+x}}]_{x=0}=1$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$	$(\sin x)’_{x=0}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=[\cos x]_{x=0}=1$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x}=0$	$(\cos x)’_{x=0}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-1}{x-0}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}-\left(\frac{1-\cos x}{x}\right)=[-\sin x]_{x=0}=0$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x}{x}=1$	$(\tan x)’=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x-0}{x-0}=[\frac{1}{\cos^{2} x}]_{x=0}=1$