三角関数

三角関数の不定形の極限では, 次の公式に帰着させて考えるとよい.

この極限値 ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1}$ は自明ではないので, 幾何的な証明が与えられている. → 証明はこちら

Example

(1)${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 3x}{5x}={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 3x}{3x}\cdot \frac{3}{5}=\frac{3}{5}}}$

(2)${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos x}{x^2}={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^2(1+\cos x)}={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{{\sin }^{2}x}{x^2(1+\cos x)}={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^2\cdot \frac{1}{1+\cos x}=1^2\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}}}}}$

(3)${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x}{x}={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{1}{x}=\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1}{\cos x}=1\cdot \frac{1}{1}=1}}$

対数関数・指数関数

e や対数関数を含む不定形, $(1+f(x){)}^{g(x)}$ の不定形の極限では, 次の公式に帰着させて考えるとよい.

これは $\mathrm{e}$ の定義式である. この式は次と同値である.

$${\displaystyle \underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{x}{)}^x=\mathrm{e}}$$

またこの定義式より次の極限値が得られる.

${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{a^x-1}{x}={\log }_{\mathrm{e}}a}$ を示す. （ これは $f(x)=a^x$ における $x=0$における微分係数 : $f^{\prime }(0)$ にあたる. )

証明(1) : $a^x-1=t$ とおくと, $x=\frac{{\log }_e(1+t)}{{\log }_{e}a}$ で $x\to 0$ のとき $t\to 0$ より

$${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{a^x-1}{x}={\displaystyle \underset{t\to 0}{lim}\frac{t({\log }_{e}a)}{{\log }_e(1+t)}={\displaystyle \underset{t\to 0}{lim}\frac{({\log }_{e}a)}{{\log }_e(1+t{)}^{\frac{1}{t}}}=\frac{{\log }_{e}a}{{\log }_{e}e}={\log }_{e}a}}}$$

証明(2)：${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^x-1}{x}=1}$ も$e^x-1=t$ とおけば同様に求められる.

$e^x-1=t$ (すなわち $x=\log (1+t)$ )とおくと, $x\to 0$ のとき $t\to 0$ . このとき

$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}}& =& {\displaystyle \underset{t\to 0}{lim}\frac{t}{{\log }_e(1+t)}}\\ & =& {\displaystyle \underset{t\to 0}{lim}\frac{1}{\frac{1}{t}{\log }_e(1+t)}}\\ & =& {\displaystyle \underset{t\to 0}{lim}\frac{1}{{\log }_e(1+t{)}^{\frac{1}{t}}}}\\ & =& \frac{1}{{\log }_{e}e}\\ & =& 1\end{array}$

Example

(1) ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1-\frac{1}{x^2})}^x={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\left({(1+\frac{1}{(-x^2)})}^{-x^2}\right)}^{\frac{1}{(-x)}}={\mathrm{e}}^0=1}}$

(2) ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{5^x-3^x}{x}={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{(5^x-1)-(3^x-1)}{x}={\log }_{e}5-{\log }_{e}3={\log }_3\frac{5}{3}}}$

(3) ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{{\log }_e(1+x)}{x}={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\log }_e(1+x{)}^{\frac{1}{x}}={\log }_{e}e=1}}$

微分係数と極限値

$e^x,\log (1+x)$ や 三角関数 の $x=0$ の微分係数から、いくつか重要な極限値が得られる.

極限値	導出方法
${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^x-1}{x}=1}$	$({\mathrm{e}}^x{)}_{x=0}^{\prime }={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^0}{x-0}={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^x-1}{x}=[{\mathrm{e}}^x{]}_{x=0}1}}$
${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\log (1+x)}{x}=1}$	${(\log (1+x))}_{x=0}^{\prime }={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\log (1+x)}{x}=[\frac{1}{1+x}{]}_{x=0}=1}$
${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1}$	$(\sin x{)}_{x=0}^{\prime }={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=[\cos x{]}_{x=0}=1}$
${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos x}{x}=0}$	$(\cos x{)}_{x=0}^{\prime }={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\cos x-1}{x-0}={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}-\left(\frac{1-\cos x}{x}\right)=[-\sin x{]}_{x=0}=0}}$
${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x}{x}=1}$	$(\tan x{)}^{\prime }={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x-0}{x-0}=[\frac{1}{{\cos }^{2}x}{]}_{x=0}=1}$