関数 $y=f(t)$ が 微分可能で, $t=g(x)$ が $y=f(t)$ の値域で微分可能ならば
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}$$
または $\{f\left(g(x)\right)\}’=f'(g(x))\cdot g'(x)$ で表す.
例題
$$y=(x^{2}+1)^{5}\ \text{を微分せよ.}$$
解答
$y=f(t)=t^{5},\ t=g(x)=x^{2}+1$ とおけば
合成関数の微分法より
\begin{eqnarray*}\frac{dy}{dx}&=&\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}\\&=&5t^{4}\cdot 2x\\&=&5(x^{2}+1)^{4}\cdot 2x\\&=&10x(x^{2}+1)^{4}\end{eqnarray*}
証明
関数 $y=f(t)$ が 微分可能で, $t=g(x)$ が $y=f(t)$ の値域で微分可能ならば
$$\left(\{f\left(g(x)\right)\}’=f'(g(x))\cdot g'(x)\right)$$
$\fbox{証明}$:$g(x+h)-g(x)=k$ とおく.
このとき $g(x+h)=g(x)+k$.
定義に従い $y=f\left(g(x)\right)$ を微分すると
$\begin{eqnarray*}\frac{d}{dx}f\left(g(x)\right) &=&\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(g(x+h)\right)-f(g(x))}{h}\\ &=&\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(g(x)+k)-f(g(x))}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(g(x)+k)-f(g(x))}{k}\cdot \frac{k}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(g(x)+k)-f(g(x))}{k}\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\&=&f’\left(g(x)\right)\cdot g'(x)\ \ \ (\text{∵} \ h\rightarrow 0 \text{ のとき, } k\rightarrow 0)\\\end{eqnarray*}$
$g(x)=t$ とおけば, $y=f\left(g(x)\right)=f(t)$ の微分は, 上式より
$\begin{eqnarray*}&&\displaystyle\lim_{k\rightarrow 0}\frac{f(g(x)+k)-f(g(x))}{k}\cdot \displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\&&=\displaystyle\lim_{k\rightarrow 0}\frac{f(t+k)-f(t)}{k}\cdot \displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\&&=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}\end{eqnarray*}$
よって次の式で表される:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}$$
注意:$g(x+h)-g(x)=k=0$ のとき $\{f\left(g(x)\right)\}’=0$ となる.