ガンマ関数 $\Gamma (s)$ の収束について考えるとき, 次の２つの点で問題となる：

• $x=0$ ($0<s<1$ のとき分母が $0$ になるため)
• $x\rightarrow\infty$

よって 積分区間を $[0,1]$ と $[1,\infty)$ に分割してガンマ関数が収束することを証明する:

$\Gamma(s)=\int_{0}^{1} x^{s-1}\mathrm{e}^{-x}\ dx+\int_{0}^{\infty} x^{s-1}\mathrm{e}^{-x}\ dx=:I_{1}+I_{2}$

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$I_{1}$ の収束について：

$s\leq 1$ の場合, $I_{1}$ の被積分関数 $x^{s-1}\mathrm{e}^{-x}$ は $[0,1]$ において連続関数であるので, $I_{1}$ は積分可能である.（有限な値をとり, 収束する.）

$0<s<1$ の場合, $I_{1}$ の被積分関数 $x^{s-1}\mathrm{e}^{-x}$ は $x=0$ において不連続関数であるので,　広義積分によって定義される：

$I_{1}=\displaystyle\lim_{t \rightarrow +0} \int_{t}^{1} x^{s-1}\mathrm{e}^{-x}\ dx$

このとき $\mathrm{e}^{-x}$ は単調減少より, 積分区間 $(0,1)$ において $\frac{1}{\mathrm{e}}<\mathrm{e}^{-x}<1$ . よって

$$x^{s-1}\mathrm{e}^{-x}<x^{s-1}$$

これより

$\begin{eqnarray*}I_{1}&=&\displaystyle\lim_{t \rightarrow +0} \int_{t}^{1} x^{s-1}\mathrm{e}^{-x}\ dx\\&\leq &\displaystyle\lim_{t \rightarrow +0} \int_{t}^{1} x^{s-1}\ dx\\&=&\displaystyle\lim_{t \rightarrow +0} \left[\frac{x^{s}}{s}\right]_{t}^{1}\\&=&\displaystyle\lim_{t \rightarrow +0}\left(\frac{1}{s}-\frac{t}{s}\right)\\&=&\frac{1}{s}\end{eqnarray*}$

よって広義積分 $I_{1}=\displaystyle\lim_{t \rightarrow +0} \int_{t}^{1} x^{s-1}\mathrm{e}^{-x}\ dx$ は収束する.

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$I_{2}$ の収束について：

$I_{2}$ は無限区間での積分となるので, 広義積分によって定義される:

$$I_{2}:=\int_{0}^{\infty} x^{s-1}\mathrm{e}^{-x}\ dx=\displaystyle\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} x^{s-1}\mathrm{e}^{-x}\ dx$$

このとき $\mathrm{e}^{-x}$ が積分に含まれていると計算が不便なので, 不等号で評価するためにマクローリン展開を行う.

$\mathrm{e}^{x}$ をマクローリン展開をすると

$$\mathrm{e}^{x}=1+x^{}+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots +\frac{x^{n}}{n!}+\cdots$$

となるので, $x>0$ のとき, 任意の $n\geq 0$ に対して

$$\mathrm{e}^{x}\geq \frac{x^{n}}{n!}$$

（このとき $n$ は $s$より大きい正の整数として選んでおく：$n>s$ ）

よって $n>0$ より逆数ととると

$$\mathrm{e}^{-x}\leq n!x^{-n}$$

これより

$\begin{eqnarray*}I_{2}&=&\displaystyle\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} x^{s-1}\mathrm{e}^{-x}\ dx\\&\leq &\displaystyle\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{t}^{1} x^{s-1}\cdot n!x^{-n}\ dx\ \ \ (\text{∵ $\mathrm{e}^{-x}\leq n!x^{-n}$ より})\\&=&\displaystyle\lim_{t \rightarrow \infty} \left[n!\frac{x^{s-n}}{s-n}\right]_{1}^{t}\\&=&\displaystyle\lim_{t \rightarrow \infty}(\frac{n!}{s-n})\left(t^{s-n}-1\right)\\&=&\displaystyle\lim_{t \rightarrow \infty}(\frac{n!}{n-s})\left(1-\frac{1}{t^{n-s}}\right)\ \ \ (\text{∵ $n>s$ より})\\&\rightarrow & \frac{n!}{n-s} \end{eqnarray*}$

注意： $n$ は自由に選ぶことができるので, $s$ より大きい正の整数として準備すればよい．

よって広義積分 $I_{2}=\displaystyle\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{\infty} x^{s-1}\mathrm{e}^{-x}\ dx$ は収束する.

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以上よりガンマ関数 $\Gamma(s)$ は正の実数全体で定義されている.