すなわち $(x,y)=(a,b)$ で$f(x,y)$ が連続であるとき, 次の３つの条件を満たす：

• 極限値 $\displaystyle\lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}f(x,y)$ が存在
• $f(a,b)$ が定義されている.
• $\displaystyle\lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}f(x,y)=f(a,b)$

連続な例

解答：連続であることを示す３つの条件を確認する.

（１）極限値の存在：$\displaystyle\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}=0$ (⊛求め方は２変数関数の極限値を参照)

（２）$(x,y)=(0,0)$ で $f(x,y)$ が定義されている. ($f(0,0)=0$)

（３）$\displaystyle\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}=f(0,0)$

よって $\displaystyle\displaystyle\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}$ は 原点で連続.

不連続な例

$\displaystyle\lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}f(x,y)\not=f(a,b)$

極限値 $\displaystyle\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}=0$ は存在する.　(⊛求め方は２変数関数の極限値を参照)

また $(x,y)=(0,0)$ において $f(x,y)$ は定義されているが, $\displaystyle\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)\not=f(0,0)$ より連続ではない.

$f(a,b)$ が定義されていない

$(x,y)=(0,0)$ において $f(x,y)$ は分母が $0$ となるので $f(0,0)$ が定義されていない.

(ただし $f(0,0)$ は定義されていないが, $(x,y)=(0,0)$ における極限値は存在する.)

よって $(x,y)=(0,0)$ において $f(x,y)$ は連続でない.

極限値が存在しない

$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ と極座標に変換すると次を得る：

$\begin{eqnarray*}\displaystyle\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}&=&\displaystyle\lim_{r\rightarrow 0}\frac{(r\cos\theta)(r\sin\theta)}{r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)}\\&=&\displaystyle\lim_{r\rightarrow 0}\cos\theta\sin\theta\end{eqnarray*}$

このとき極限値は $\theta$ の値に依存しているので, 極限は存在しない.

よって連続でないのは明らか.

厳密な定義