$f(x)=\sin x$（$-\frac{\pi}{2}\leq x\leq \frac{\pi}{2}$） の逆関数を $f^{-1}(x)=\sin^{-1} x$ (または $\mathrm{arcsin}\ x$ ) で表し, 逆正弦（アークサイン）という. すなわち
$$y=\sin^{-1} x \Longleftrightarrow x=\sin y$$
ただし $y=\sin^{-1} x$ の定義域は $-1\leq x\leq 1$, 値域は $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq\frac{\pi}{2}$ となる.
$y=\sin x$ は単調関数（1:1対応）でないため, 逆関数が定義できない.
ただし定義域を $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq\frac{\pi}{2}$ に制限すれば, $y=\sin x$ は単調増加関数となり逆関数が存在する.
定義域を $\frac{\pi}{2} \leq x \leq\frac{\pi}{2}$ に制限した $f(x)=\sin x$ の逆関数を $f^{-1}(x)=\sin^{-1} x$ または $f^{-1}(x)=\mathrm{arcsin}\ x$ と表す.
このとき, $f(x)=\sin x$ の定義域は$-\frac{\pi}{2}\leq x\leq \frac{\pi}{2}$, 値域は $-1\leq y \leq 1$ より, 逆関数 $f^{-1}(x)=\sin^{-1} x$ の定義域は $-1\leq x \leq 1$, 値域は$-\frac{\pi}{2}\leq y\leq \frac{\pi}{2}$ となる.
注意：グラフより $\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1} x$ であることがわかる.
例：次の値を求めよ.
$$\sin^{-1}(\frac{1}{2}),\ \ \sin^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{2}),\ \ \sin^{-1}(-\frac{1}{2})$$.
解答: $\sin(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2},\ \sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}, \ \sin(-\frac{\pi}{6})=-\frac{1}{2}$ より
$$\sin^{-1}(\frac{1}{2})=\frac{\pi}{6},\ \ \sin^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\pi}{4},\ \ \ \text{and}\ \ \ \sin^{-1}(-\frac{1}{2})=-\frac{\pi}{6}$$
Notice： $\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1} x$ であることに注意する.
導関数
\begin{eqnarray*}&&\frac{d}{dx} (\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\ \ \ \ \ (|x|<1)\\ &&\frac{d}{dx} (\sin^{-1} f(x))=\frac{f'(x)}{\sqrt{1-\{f(x)\}^{2}}}\ \ \ \ \ (|f(x)|<1)\end{eqnarray*}
$y=\sin^{-1} x$ とするとき, $x=\sin y$ と表すことができる. (ただし $-\frac{\pi}{2}\leq y\leq\frac{\pi}{2}$)
逆関数の微分法により $y=\sin^{-1} x$ を微分すれば
$$\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\ \ \frac{dx}{dy}\ \ \ }=\frac{1}{\frac{d}{dy}(\sin y)}=\frac{1}{\cos y}$$
このとき $y=\sin^{-1} x$ の値域は $-\frac{\pi}{2}\leq y\leq\frac{\pi}{2}$ であることに注意すれば, $\cos y\geq 0$ であることがわかる.
よって $\cos y=+\sqrt{1-\sin^{2} y}=\sqrt{1-x^{2}}$ より
$$\frac{d}{dx} (\sin^{-1} x)=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$$
Notice：$\frac{d}{dx} (\sin^{-1} x)=-\frac{d}{dx} (\cos^{-1} x)$
また合成関数の微分法を用いれば次を得る：
$$\frac{d}{dx} (\sin^{-1} f(x))=\frac{f'(x)}{\sqrt{1-{f(x)}^{2}}}\ \ \ \ \ (|f(x)|<1)$$
例
$f(x)=\sin^{-1}3x$ とするとき, $f'(x)$ を求めよ.
解答: \(f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-(3x)^{2}}}\frac{d}{dx}(3x)=\frac{3}{\sqrt{1-9x^{2}}}\).
不定積分
微分公式より以下を得る：
\begin{eqnarray*}&&(1)\ \ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\ dx=\sin^{-1}x +C \\
&&(2)\ \ \int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-(px+q)^{2}}}\ dx=\frac{1}{p}\sin^{-1}\frac{px+q}{a} +C\end{eqnarray*}
(1) $\frac{d}{dx} (\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ より $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\ dx=\sin^{-1}x +C$ は明らか.
注意： $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\ dx=\sin^{-1}x +C =-\cos^{-1}x +C$.
(2) $\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-(px+q)^{2}}}\ dx$ を求めるために, 次のように書き替える：
\begin{eqnarray*}\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-(px+q)^{2}}}\ dx&=&\int \frac{(\frac{px+q}{a})’ \cdot \frac{a}{p}}{a\sqrt{1-(\frac{px+q}{a})^{2}}}\ dx\\&=&\int \frac{1}{p}\frac{(\frac{px+q}{a})’}{a\sqrt{1-(\frac{px+q}{a})^{2}}}\ dx\\&=&\frac{1}{p}\sin^{-1}(\frac{px+q}{a})+C\end{eqnarray*}
または $t=\frac{px+q}{a}$ として置換積分を行えば
$\frac{dt}{dx}=\frac{p}{a}$, $dt=\frac{p}{a}dx$ より
\begin{eqnarray*}\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-(px+q)^{2}}}\ dx&=&\frac{1}{p}\int \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{px+q}{a})^{2}}}\ \frac{p}{a}dx\\&=&\frac{1}{p}\int \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}\ dt\\&=&\frac{1}{p}\sin^{-1} t +C\\&=&\frac{1}{p}\sin^{-1}(\frac{px+q}{a})+C\end{eqnarray*}
例
次の問題を解け.
(1) $\int \frac{1}{\sqrt{9-16x^{2}}}\ dx$
(2) $\int \frac{1}{\sqrt{1+x-x^{2}}}\ dx$
解答:
(1) \(\int \frac{1}{\sqrt{9-16x^{2}}}\ dx=\int \frac{1}{\sqrt{3^{2}-(4x)^{2}}}\ dx=\frac{1}{4}\sin^{-1}\frac{4}{3}x+C\)
(2)\begin{eqnarray*}\int \frac{1}{\sqrt{1+x-x^{2}}}\ dx&=&\int \frac{1}{\sqrt{1-(x^{2}-x)}}\ dx\ \ \ (*)\\&=&\int \frac{1}{\sqrt{\frac{5}{4}-(x-\frac{1}{2})^{2}}}\ dx\\&=&\int \frac{1}{\sqrt{(\frac{\sqrt{5}}{2})^{2}-(x-\frac{1}{2})^{2}}}\ dx\ \ \ (**)\\&=&\sin^{-1}\frac{2x-1}{\sqrt{5}}+C\end{eqnarray*}
(*)\begin{eqnarray*}&&1+x-x^{2}\\&=&-(x^{2}-x)+1\\&=&-(x^{2}-x+\frac{1}{4})+\frac{5}{4}\\&=&-(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{5}{4}
\end{eqnarray*}
(**)$$\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{2x-1}{\sqrt{5}}$$