$f(x)=\cos x$（$0\leq x \leq \pi$） の逆関数を $f^{-1}(x)=\cos^{-1} x$ (または $\mathrm{arccos}\ x$ ) で表し, 逆正弦（アークサイン）という. すなわち $$y=\cos^{-1} x \ \ \Longleftrightarrow \ \ x=\cos y$$ ただし $y=\cos^{-1} x$ の定義域は $-1\leq x\leq 1$, 値域は $0\leq y \leq \pi$ となる.
$y=\cos x$ は単調関数（1:1対応）でないため, 逆関数が定義できない.
ただし定義域を $0 \leq x \leq\pi$ に制限すれば, $y=\cos x$（$0\leq x\leq \pi$) は単調減少関数となり逆関数が存在する.→逆関数について
定義域を $0 \leq x \leq\pi$ に制限した $f(x)=\cos x$ の逆関数を $f^{-1}(x)=\cos^{-1} x$ または $\mathrm{arccos}\ x$ と表す.
このとき, $f(x)=\cos x$ の定義域は $0\leq x\leq \pi$, 値域は $-1\leq y \leq 1$ より, 逆関数 $f^{-1}(x)=\cos^{-1} x$ の定義域は $-1\leq x \leq 1$, 値域は $0\leq y\leq \pi$ となる.
注意：グラフより $y=\cos^{-1}(-x)\not=-\cos^{-1} x$ であることがわかる.
例：次の値を求めよ.
$$\cos^{-1}(\frac{1}{2}),\ \ \cos^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{2}),\ \ \cos^{-1}(-\frac{1}{2})$$
解答：
$\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2},\ \cos(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}, \ \cos(\frac{2\pi}{3})=-\frac{1}{2}$ より
$$\cos^{-1}(\frac{1}{2})=\frac{\pi}{3},\ \ \ \cos^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\pi}{4},\ \ \ \ \cos^{-1}(-\frac{1}{2})=\frac{2\pi}{3}$$
導関数
\begin{eqnarray*}&&\frac{d}{dx} (\cos^{-1} x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\ \ \ \ \ (|x|<1)\\ &&\frac{d}{dx} (\cos^{-1} f(x))=-\frac{f'(x)}{\sqrt{1-\{f(x)\}^{2}}}\ \ \ \ \ (|f(x)|<1)\end{eqnarray*}
$y=\cos^{-1} x$ とするとき, $x=\cos y$ と表すことができる. (ただし $0 \leq y\leq \pi$)
逆関数の微分法により $y=\cos^{-1} x$ を微分すれば
$$\frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\ \ \frac{dx}{dy}\ \ }=\frac{1}{\frac{d}{dy}(\cos y)}=\frac{1}{-\sin y}$$
このとき $y=\cos^{-1} x$ の値域は $0\leq y\leq\pi$ であることに注意すれば, $\sin y\geq 0$ であることがわかる.
よって $\sin y=+\sqrt{1-\cos^{2} y}=\sqrt{1-x^{2}}$ より
$$\frac{d}{dx} (\cos^{-1} x)=\frac{1}{-\sin y}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$$
Notice：$\frac{d}{dx} (\sin^{-1} x)=-\frac{d}{dx} (\cos^{-1} x)$
また合成関数の微分法を用いれば次を得る：
$$\frac{d}{dx} (\cos^{-1} f(x))=-\frac{f'(x)}{\sqrt{1-{f(x)}^{2}}}$$
例
$f(x)=\cos^{-1}x^{2}とするとき, $f'(x)$ を求めよ.
解答： $f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-(x^{2})^{2}}}\frac{d}{dx}(x^{2})=-\frac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}}$.
不定積分
微分公式より以下を得る：
\begin{eqnarray*}&&(1)\ \ \ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\ dx=-\cos^{-1}x +C \\
&&(2)\ \ \ \int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-(px+q)^{2}}}\ dx=-\frac{1}{p}\cos^{-1}\frac{px+q}{a} +C\end{eqnarray*}
（１） $\frac{d}{dx} (\cos^{-1} x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ より $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\ dx=-\cos^{-1}x +C$ は明らか.
注意： $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\ dx=\sin^{-1}x +C =-\cos^{-1}x +C$.
（２）$t=\frac{px+q}{a}$ として置換積分を行えば
$\frac{dt}{dx}=\frac{p}{a}$, $dt=\frac{p}{a}dx$ より
$\begin{eqnarray*}\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-(px+q)^{2}}}\ dx&=&\frac{1}{p}\int \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{px+q}{a})^{2}}}\ \frac{p}{a}dx\\&=&\frac{1}{p}\int \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}\ dt\\&=&-\frac{1}{p}\cos^{-1} t +C\\&=&-\frac{1}{p}\cos^{-1}(\frac{px+q}{a})+C\end{eqnarray*}$