$a$<$b$ として, 関数 $f(x)$ は区間 $(a,b)$ で $n$ 回微分可能ならば, ある $c$ ($a$<$c$<$b$) が存在し次が成り立つ： $$f(b)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(b-a)+\frac{f''(a)}{2!}(b-a)^{2}+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(b-a)^{n}+\frac{f^{n}(c)}{n!}(b-a)^{n}$$
テイラーの定理は平均値の定理 ($n=1$) を一般化したものである.
またテイラーの定理を用いれば, 関数を多項式で表すことが可能となる.
定理における $R_{n}=\frac{f^{n}(c)}{n!}(b-a)^{n}$ は剰余項と呼ばれ, 関数 $f(x)$ を多項式で近似した場合の誤差となる.
Contents
テイラーの定理とテイラー展開
テイラーの定理において $b=x$ とおけば
関数 $f(x)$ は区間 $(a,b)$ で $n$ 回微分可能ならば, ある $c$ ($a$<$c$<$b$) が存在し次が成り立つ： $$f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}+\frac{f^{n}(c)}{n!}(x-a)^{n}\ \ \ (a\text{<}c\text{<}x)$$
となるがこれを剰余 $R_{n}=\frac{f^{n}(c)}{n!}(x-a)^{n}$ を伴ったテイラー級数という.
また$n\rightarrow \infty$ で $R_{n}\rightarrow 0$ となるとき, $f(x)$ は無限級数で表されることとなる. つまり
関数 $f(x)$ は $x=a$ を含む区間で $\infty$ 回微分可能で, $n\rightarrow 0$ で $R_{n}\rightarrow 0$ ならば, 次が成り立つ： $$f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f”(a)}{2!}(x-a)^{2}+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}+\cdots$$ ただし $R_{n}=\frac{f^{n}(c)}{n!}(b-a)^{n}$ とする.
このように $f(x)$ が無限級数で表されるとき, これを $f(x)$ の $x=a$ におけるテイラー展開という.
証明
$G(x):=f(x)+f'(x)\frac{(b-x)}{1!}+f”(a)\frac{(b-x)^{2}}{2!}+\cdots +f^{(n-1)}(x)\frac{(b-x)^{n-1}}{(n-1)!}+K\frac{(b-x)^{n}}{n!}\ \ \ \text{($K$ は定数)}$
とおき
$G(a)=G(b)$ となるように $K$ を定める.
このとき関数 $G(x)$ は平均値の定理より
$$G'(c)=\frac{G(b)-G(a)}{b-a}=0$$
となる $c\ (a<c<b)$ が存在する.
また $n$ に関する帰納法を用いれば
$\left(f(x)+f'(x)\frac{(b-x)}{1!}+f”(a)\frac{(b-x)^{2}}{2!}+\cdots +f^{(n-1)}(x)\frac{(b-x)^{n-1}}{(n-1)!}\right)’=f^{(n)}(x)\frac{(b-x)^{n-1}}{(n-1)!}$
となるので
$\begin{eqnarray*}G'(x)&=&f^{(n)}(x)\frac{(b-x)^{n-1}}{(n-1)!}-K\frac{(b-x)^{n-1}}{(n-1)!}\\&=&\left(f^{(n)}(x)-K\right)\frac{(b-x)^{n-1}}{(n-1)!}\end{eqnarray*}$
となる. ここで $x=c$ を代入すれば
$G'(c)=\left(f^{n}(c)-K\right)\frac{(b-c)^{n-1}}{(n-1)!}=0$
より
$f^{(n)}(c)=K$ を得る.
これを$G(x)$ に代入すれば
$G(x)=f(x)+f'(x)\frac{(b-x)}{1!}+f”(a)\frac{(b-x)^{2}}{2!}+\cdots +f^{(n-1)}(x)\frac{(b-x)^{n-1}}{(n-1)!}+f^{(n)}(c)\frac{(b-x)^{n}}{n!}$
となる. このとき
$$G(a)=G(b)=f(b)$$
であることに留意して, $G(x)$に $x=a$ を代入すれば, 次を得る：
$$f(b)=G(a)=f(a)+f'(a)\frac{(b-a)}{1!}+f”(a)\frac{(b-a)^{2}}{2!}+\cdots +f^{(n-1)}(a)\frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}+f^{(n)}(c)\frac{(b-a)^{n}}{n!}$$