証明：$x<2^{x}$ より

$\frac{x}{e^{x}}<\frac{2^{x}}{e^{x}}$

これより

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x}{e^{x}}<\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2^{x}}{e^{x}}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{2}{e}\right)^{x}=0$ $\left( \text{なぜなら} \left|\frac{2}{e}\right|<1\right)$

よって

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x}{e^{x}}=0$

Notice：ロピタルの定理を用いてもこの極限値を求めることができる.