証明：

$\begin{eqnarray*}\frac{d}{dx}e^{x}&=&\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^{x}(e^{h}-1)}{h}\\&=&e^{x}\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(e^{h}-1)}{h}\\&=&e^{x}\cdot 1\\&=&e^{x}\end{eqnarray*}$