証明 : $e^{x}-1=t $ とおくと$ \left(\text{すなわち} x=\log (1+t) \right)$

$x\rightarrow 0$ のとき $t\rightarrow 0$ .

このとき

$\begin{eqnarray*}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}&=&\displaystyle\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t }{\log_{e} (1+t)}\\&=&\displaystyle\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1 }{\frac{1}{t}\log_{e} (1+t)}\\&=&\displaystyle\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1 }{\log_{e} (1+t)^{\frac{1}{t}}}\\&=&\frac{1}{\log_{e} e}\\&=&1\end{eqnarray*}$

Notice： この極限は $f(x)=e^{x}$ における $x=0$における微分係数 : $f'(0)=1$ を表している.