積分区間が無限であるので広義積分として捉えなければならない. (ただしガンマ関数は積分可能で，有限の値に収束することが知られている. ) → ガンマ関数の収束について

またガンマ関数は$s$ の値によって取りうる値が異なるので, $s$ の関数とみなすことができる.

ベータ関数がオイラーの第一種積分と呼ばれるのに対して，ガンマ関数はオイラーの第二積分と呼ばれる．

例：

$s=1$ のとき $\Gamma(1)=\int_{0}^{\infty} x^{0}\mathrm{e}^{-x}\ dx=\int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-x}\ dx=[-\mathrm{e}^{-x}]_{0}^{\infty}=1$

$s=4$ のとき $\Gamma(4)=\int_{0}^{\infty} x^{3}\mathrm{e}^{-x}\ dx=[-(x^{3}+3x^{2}+6x+6)\mathrm{e}^{-x}]_{0}^{\infty}=6$

ガンマ関数の性質

証明（１） \(s>0\)のとき

$\begin{eqnarray*}\Gamma(s+1)&=&\int_{0}^{\infty} x^{s}\mathrm{e}^{-x}\ dx\\&=&[x^{s}(-\mathrm{e}^{-x})]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty} s x^{s-1}\mathrm{e}^{-x}\ dx \\&=& s\Gamma(s)\end{eqnarray*}$

証明（２） \(n\) が正の整数のとき

$\begin{eqnarray*}\Gamma(n+1)&=&n \Gamma(n)\ \ (\ \text{∵} (1)\ )\\&=&n (n-1)\Gamma(n-1)\\&=&\cdots =\\&=&n(n-1)\cdots 2\cdot 1\cdot\Gamma(1)\end{eqnarray*}$

このとき　\(\Gamma(1)=\int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-x}\ dx =[-\mathrm{e}^{-x}]_{0}^{\infty}=1\)となるので

\(\Gamma(n+1)=n !\)

を得る.

注意：\(0!=1\)と定義されるが、\(0!=\Gamma(1)=1\) より\(0!=1\) とする根拠ともなる.

証明（３）

まず定義より \(\Gamma(\frac{1}{2})=\int_{0}^{\infty} x^{-\frac{1}{2}}\mathrm{e}^{-x}\ dx\)

このとき \(x=t^{2}\)とおくと,

\(\frac{dx}{dt}=2t \), \(t: 0\rightarrow \infty\) より

$\begin{eqnarray*}\text{(与式)}&=&\int_{0}^{\infty} t^{-1}\mathrm{e}^{-t^{2}} 2t\ dt\\&=&2\int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-t^{2}}\ dt\\&=&\sqrt{\pi}\end{eqnarray*}$

$3.5!$ の値

これまでは $n$ が正の整数の場合に限って \(n!=n\cdot (n-1)\cdots 2 \cdot 1\)が定義されていたが、ガンマ関数によって\(n\) が正の整数でない場合についても $n!$ を一般化することが可能となる.

例えば $3.5!$ の場合, ガンマ関数の定義より \(3.5!=\Gamma(3.5)\)を求めれば良い.

計算方法としては, ガンマ関数の性質を利用すれば次のように$3.5!$ の値を求めることが可能となる.

$\begin{eqnarray*}\Gamma(3.5)&=&2.5 \cdot \Gamma(2.5)\\&=&2.5\cdot 1.5\cdot\Gamma(1.5)\\&=&2.5\cdot 1.5\cdot 0.5\cdot \Gamma(0.5)\\&=& 1.875\sqrt{\pi}\end{eqnarray*}$

ベータ関数との関係性

証明：

ガンマ関数の定義より

$\begin{eqnarray*}\Gamma(p)\Gamma(q)&=&\int_{0}^{\infty} x^{p-1}\mathrm{e}^{-x}\ dx\int_{0}^{\infty} y^{q-1}\mathrm{e}^{-y}\ dy\\&=&\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty} x^{p-1}y^{q-1}\mathrm{e}^{-x-y}\ dxdy\end{eqnarray*}$

ここで $x=uv,\ y=u(1-v)$ と置換積分すると

積分範囲は $\{(x,y)| x,y\in (0,\infty)\}=\{\left(uv, u(1-v)\right)| u\in(0,\infty), v\in(0,1)\}$

ヤコビ行列は $J=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}v& u\\1-v&-u\end{array}\right|=u$

で与えられる．

よって

$\begin{eqnarray*}\Gamma(p)\Gamma(q)&=&\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty} x^{p-1}y^{q-1}\mathrm{e}^{-x-y}\ dxdy\\&=&\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{1} (uv)^{p-1}\left(u(1-v)\right)^{q-1}\mathrm{e}^{-u}u\ dvdu\\&=&\int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-u} u^{p+q-1}\ du\int_{0}^{1} v^{p-1}(1-v)^{q-1}\mathrm{e}^{-u}u\ dv\\&=&\Gamma(p+q)B(p,q)\end{eqnarray*}$

これより $B(p, q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$ を得る．