例題

解答　

$y=f(t)=t^{5},\ t=g(x)=x^{2}+1$ とおけば

合成関数の微分法より

\begin{eqnarray*}\frac{dy}{dx}&=&\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}\\&=&5t^{4}\cdot 2x\\&=&5(x^{2}+1)^{4}\cdot 2x\\&=&10x(x^{2}+1)^{4}\end{eqnarray*}

証明

$\fbox{証明}$：$g(x+h)-g(x)=k$ とおく.

このとき $g(x+h)=g(x)+k$.

定義に従い $y=f\left(g(x)\right)$ を微分すると

$\begin{eqnarray*}\frac{d}{dx}f\left(g(x)\right) &=&\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(g(x+h)\right)-f(g(x))}{h}\\ &=&\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(g(x)+k)-f(g(x))}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(g(x)+k)-f(g(x))}{k}\cdot \frac{k}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(g(x)+k)-f(g(x))}{k}\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\&=&f’\left(g(x)\right)\cdot g'(x)\ \ \ (\text{∵} \ h\rightarrow 0 \text{ のとき, } k\rightarrow 0)\\\end{eqnarray*}$

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$g(x)=t$ とおけば, $y=f\left(g(x)\right)=f(t)$ の微分は, 上式より

$\begin{eqnarray*}&&\displaystyle\lim_{k\rightarrow 0}\frac{f(g(x)+k)-f(g(x))}{k}\cdot \displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\&&=\displaystyle\lim_{k\rightarrow 0}\frac{f(t+k)-f(t)}{k}\cdot \displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\&&=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}\end{eqnarray*}$

よって次の式で表される：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}$$

注意：$g(x+h)-g(x)=k=0$ のとき $\{f\left(g(x)\right)\}’=0$ となる.

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