関数 $z=f(x, y)$ において, 偏導関数 $f_{x}(x,y),\ f_{y}(x,y)$が $x,\ y$ について偏微分可能であるとき, 偏微分したものを第２次偏導関数という.
例えば 偏導関数 $f_{x}(x,y)$ が $x,y$ についてそれぞれ偏微分可能であるとき, 第２次偏導関数は
$$(f_{x})_{x}=f_{xx}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$$
$$(f_{x})_{y}=f_{xy}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}$$
第1次偏導関数：$f_{x}(x,y),\ f_{y}(x,y)$
第２次偏導関数： $f_{xx}(x,y),\ f_{yy}(x,y), \ f_{xy}(x,y),\ f_{yx}(x,y)$
偏微分の順序に注意
\begin{eqnarray*}f_{xy}(x,y)&=&\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\\\ f_{yx}(x,y)&=&\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\end{eqnarray*}
一般に $f_{xy}=f_{yx}$ とは限らない. ある一定の条件を見たす場合のみ$f_{xy}=f_{yx}$ となる.
$f_{xx}(x,y),\ f_{yy}(x,y), \ f_{xy}(x,y),\ f_{yx}(x,y)$が偏微分可能ならば, さらに偏微分すれば第３次偏導関数が定義される.
Contents
例題
次の関数の２次偏導関数を求めよ.
$$f(x,y)=\log (1+x^{2}+y^{2})$$
解答 $f(x,y)=\log (1+x^{2}+y^{2})$ のとき
第１次偏導関数：$f_{x}=\frac{2x}{1+x^{2}+y^{2}},\ \ f_{y}=\frac{2y}{1+x^{2}+y^{2}}$
第２次偏導関数：
\begin{eqnarray*}f_{xx}&=&\frac{\partial}{\partial x}f_{x}=\frac{2x}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}\\f_{yy}&=&\frac{\partial}{\partial y}f_{y}=\frac{2y}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}\\f_{xy}&=&\frac{\partial}{\partial y}f_{x}=-\frac{4xy}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}\\f_{yx}&=&\frac{\partial}{\partial x}f_{y}=-\frac{4xy}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}\\\end{eqnarray*}
注意：ここで, $f(x,y)$ は$x,\ y$ の対称式であるので, 「$f_{x}$ と $f_{y}$」・ 「$f_{xx}$ と $f_{yy}$ 」はぞれぞれ $x$ と $y$ を入れ替えた式となる.
シュワルツの定理
一般に $f_{xy}=f_{yx}$ とは限らない. ある一定の条件を見たす場合のみ$f_{xy}=f_{yx}$ となる.
$f_{xy},\ f_{yx}$ がともに存在して連続ならば, $f_{xy}=f_{yx}$
$f_{xy}\not= f_{yx}$ となる例
$f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}\ \ \ &(x,y)\not= (0,0)\\0\ \ \ &(x,y)=(0,0)\end{cases}$ は $f_{xy}(0,0)\not= f_{yx}(0,0)$ である.
$f(x,y)$ は $\mathbb{R}^{2}$ 全体で連続, 偏微分可能であるが
$\begin{eqnarray*}f_{xy}(0,0)&=&-1\\f_{yx}(0,0)&=&1\end{eqnarray*}$
より連続でないことがわかる.